Problema 4 Examen Matemàtiques CCSS 11 de juny 2020

El vaixell de Barcelona a Palma de Mallorca porta automòbils i camions a la bodega. Cada camió ocupa 4 places d’automòbil. La superfície total de la bodega permet situar-hi fins a 200 automòbils. Cada automòbil pesa 1.000 kg i cada camió 9.000 kg. El pes total permès per a la càrrega és de 300.000 kg. La companyia cobra 50 € per cada cotxe i 300 € per cada camió. Calculeu el nombre de cotxes i camions que s’han de carregar per obtenir un benefici màxim, i també quin és aquest benefici màxim.

Solució: Donat un fenomen $x$ amb un nombre de casos $y$ i un nombre de camions. Les restriccions són: $x + 4y \leq 200$ pel que fa al nombre de places i $1000x + 9000y \leq 300000$ pel que fa als pesos. A més, totes dues incògnites han de ser positives. El sistema de restriccions és:

$$\begin{cases}
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
x + 4y \leq 200 \\
1000x + 9000y \leq 300000
\end{cases}$$

que dona lloc a la regió factible del gràfic següent:

Determinem les coordenades dels vèrtexs:

• $B$ és el punt d’intersecció de les dues rectes $x + 4y = 200$ i $1000x + 9000y = 300000$. Els altres punts són els extrems dels eixos i les interseccions amb els eixos anteriors:
• $A = (0, 50)$
• $C = (200, 0)$
• $D = (0, 0)$

La funció objectiu de benefici que volem maximitzar és $B(x, y) = 50x + 300y$. Fem la taula:

Per tant, el benefici màxim s’obté portant $120$ casos i $20$ camions i és de $12000$ €.