Problema 3 Examen Matemàtiques CCSS 11 de juny 2020

Un equip de treballadors ha de fer la collita d’un camp de pomeres a partir de l’1d’octubre i només poden treballar durant un dia. Si la collita es fa l’1 d’octubre, escolliran 60 tones i el preu serà de 2000 euros/tona. Sabem que a partir d’aquest dia, laquantitat que es pot collir augmenta en una tona cada dia, però el preu de la tonadisminueix en 20 euros/dia. a) Determineu la fórmula que expressa els ingressos que s’obtenen en funció del nombre de dies que es deixen passar des de l’1 d’octubre per fer la collita. b) Trobeu quants dies han de passar perquè els ingressos per la collita siguin màxims c) Digueu quin és el valor màxim dels ingressos per la collita. d) Trobeu quants dies han de passar perquè els ingressos per la collita siguin els mateixos que si es fes el dia 1 d’octubre.

a) La quantitat de tones que es cullen en funció del nombre $t$ de dies que es deixen passar a partir de l’1 d’octubre és: $Q(t) = 60 + t$. El preu per tona és $P(t) = 2000 – 20t$. Per tant, els ingressos són: $$I(t) = Q(t)P(t) = (60 + t)(2000 – 20t) = -20t^2 + 800t + 120000$$

b) La funció derivada és: $I'(t) = -40t + 800$. Per trobar el punt on els ingressos tenen un màxim relatiu cal que la derivada sigui $0$. Per tant resulta $t = 20$ dies.
I realment és un màxim relatiu ja que $I”(t) = -40$ és negativa.

c) El valor màxim dels ingressos és $I(20) = 80 \cdot 1600 = 128000$ €

d) Perquè els ingressos tornin a ser els del dia 1 d’octubre cal que
$$f(t) = -20t^2 + 800t + 120000 = f(0) = 120000$$.
O sigui $-20t^2 + 800t = 0$ i per tant $20t(t + (-40)) = 0$, i la solució no nul·la és
$t = 40$ dies.