Problema 6 Examen Matemàtiques CCSS 11 de juny 2020

Una fàbrica de televisors ven cada aparell a $300$ euros. Les despeses de fabricar $x$ televisors són $D(x) = x^2+200x$, en què $0≤x≤80$. a) Suposant que es venen tots els televisors que es fabriquen, doneu la funció dels beneficis que s’obtenen després de fabricar i vendre $x$ televisors. b) Determineu el nombre d’aparells que convé fabricar per obtenir el benefici màxim, i també quin és aquest benefici màxim.

a) Els ingressos són $I(x) = 300x$.

b) El benefici és $B(x) = 300x – (200x + x^2) = 100x – x^2$.
Per trobar el benefici màxim, determinem la derivada i l’igualem a 0: $B'(x) = 100 – 2x$.
Per tant, l’extrem relatiu s’obté per $x = 50$. Com que es tracta òbviament d’un màxim ja que és una paràbola amb coeficient $a$ negatiu (també es pot veure pel signe de la derivada segona, que és negatiu), el benefici màxim és $B(50) = 2500$ €.