Problema 2. Examen Selectivitat Matemàtiques II. Juny 2025 Catalunya

Considereu el sistema d’equacions lineals següent: $$\begin{cases}y – z &= p + 3 \\ p^2 x – z &= 5 \\ x – y &= 3\end{cases}$$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $p$. b) Resoleu el sistema per al cas $p = -1$. c) Per al cas $p = -1$, hi ha alguna solució que compleixi, a més, $xy = 10$? En cas afirmatiu, indiqueu quantes n’hi ha i trobeu-les totes.

a) La matriu de coeficients i l’ampliada, $A$ i $A’$ respectivament, són les següents:

\begin{equation}
\underbrace{\left(\begin{array}{ccc|c}
0 & 1 & -1 & p+3 \\
p^{2} & 0 & -1 & 5 \\
1 & -1 & 0 & 3
\end{array}\right)}_{A^{\prime}}
\end{equation}

En primer lloc, calculem el determinant de $A$:

\[|A| = \begin{vmatrix}0 & 1 & -1 \\ p^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}= 0 + p^2 – 1 = p^2 – 1.\]

Igualant-lo a zero, en resulten els valors $p = 1$ i $p = -1$. Per tant, distingim els casos següents:

•     Si $p \neq 1, -1$, el determinant de $A$ és diferent de zero i, per tant, $\mathrm{rang}(A) = \mathrm{rang}(A’) = 3$, que és igual al nombre d’incògnites. Per tant, es tracta d’un sistema compatible determinat.

• Si $p = 1$, el determinant de la matriu de coeficients és zero; com que tenim el menor

    \[ \begin{vmatrix}     0 & 1 \\    1 & 0    \end{vmatrix}    = -1 \neq 0,    \]

    aleshores $\mathrm{rang}(A) = 2$. Però la matriu ampliada té $\mathrm{rang}(A’) = 3$ gràcies, per exemple, al menor:

    \[    \begin{vmatrix}    0 & 1 & p + 3 \\    1 & 0 & 5 \\    1 & -1 & 3    \end{vmatrix}    = 5 – 4 – 3 = -2 \neq 0.    \]

Per tant, el sistema és incompatible.

• Si $p = -1$, tenim el sistema:

\[\begin{cases}y – z = 2 \\ x – z = 5 \\ x – y = 3 \end{cases}\]

Eliminant la segona equació (per ser suma de la primera i la tercera), i com que la matriu

\[\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

té rang 2, el sistema és compatible indeterminat amb un grau de llibertat.

b) Per al cas $p = -1$, es tracta del sistema:

\[\begin{cases}y – z = 2 \\ x – y = 3 \end{cases} \]

que és compatible indeterminat. Fent $y = \lambda$, s’obté $x = \lambda + 3$ i $z = \lambda – 2$. Per tant la solució del sistema és, en aquest cas, $(x, y, z) = (\lambda + 3, \lambda, \lambda – 2)$, amb $\lambda$ real.

c) Per al cas $p = -1$, el sistema té les infinites solucions obtingudes a l’apartat anterior. Imposant, a més, que $xy = 10$, resulta $(\lambda + 3)\lambda = 10$; és a dir, $\lambda^2 + 3\lambda – 10 = 0$; d’aquí obtenim:

\[\lambda = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 4(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} = -5, 2.\]

Per tant, el sistema té exactament dues solucions complint $xy = 10$, que són les corresponents a $\lambda = -5$ i $\lambda = 2$. Es tracta de $(x, y, z) = (-2, -5, -7)$ i $(x, y, z) = (5, 2, 0)$, respectivament.