Problema 2 Examen Matemàtiques CCSS 11 de juny 2020

Una empresa cinematogràfica disposa de tres sales, $A$, $B$ i $C$. Els preus d’entrada a aquestes sales són de $3$, $4$ i $5$ euros, respectivament. Un dia la recaptació conjunta de les tres sales va ser de $720$ euros i el nombre total d’espectadors va ser de $200$. Si els espectadors de la sala $A$ haguessin assistit a la sala $B$ i els de la sala $B$ a la sala $A$, s’hagués obtingut una recaptació de $20$ euros més. Calcula el nombre d’espectadors que va acudir a cadascuna de les sales.

Siguin $x$, $y$, $z$ el nombre d’espectadors de les sales $A$, $B$ i $C$ respectivament. De l’enunciat obtenim el següent sistema d’equacions lineals:

$$\left\{
\begin{array}{c}
x + y + z = 200 \\
3x + 4y + 5z = 720 \\
4x + 3y + 5z = 740
\end{array}
\right.$$

Anem a utilitzar el mètode de Gauss:

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 200 \\
3 & 4 & 5 & 720 \\
4 & 3 & 5 & 740
\end{pmatrix}\xrightarrow{F_2 – 3F_1}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 200 \\
0 & 1 & 2 & 120 \\
4 & 3 & 5 & 740
\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3 \rightarrow F_3 – 4F_1}$$

$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 200 \\
0 & 1 & 2 & 120 \\
0 & -1 & 1 & -60
\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3 \rightarrow F_3 + F_2}\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 200 \\
0 & 1 & 2 & 120 \\
0 & 0 & 3 & 60
\end{pmatrix}$$

El sistema escalonat equivalent és:

$$\left\{
\begin{array}{c}
x + y + z = 200 \\
y + 2z = 120 \\
3z = 60
\end{array}
\right.$$

$$y + 2z = 120 \quad \text{la solució és } z = 20; y = 8; x = 100$$

$$3z = 60$$

Per tant, $100$ espectadors a la sala $A$, $80$ a la $B$ i $20$ a la $C$.