Diagonalització d’una matriu mitjançant valors i vectors propis

Calculeu els valors propis i els vectors propis de la matriu \[A = \begin{bmatrix}-5 & 0 & -6 \\3 & 1 & 3 \\3 & 0 & 4\end{bmatrix}\] i estudieu si és diagonalitzable.

El polinomi característic de la matriu A és \[\left| \begin{array}{ccc}-5 – \lambda & 0 & -6 \\3 & 1 – \lambda & 3 \\3 & 0 & 4 – \lambda\end{array} \right| = (1 – \lambda) \left| \begin{array}{cc}-5 – \lambda & -6 \\3 & 4 – \lambda\end{array} \right| = (1 – \lambda)(-2 + \lambda + \lambda^2)\]\[= (1 – \lambda)^2(-2 – \lambda)\]

Per tant, els valors propis són \[\lambda_1 = 1 \quad \text{i} \quad \lambda_2 = -2.\] Els subespais propis són \[E_{\lambda_1}(A) = \text{Nul}(A – I) = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}-6 & 0 & -6 \\3 & 0 & 3 \\3 & 0 & 3\end{array} \right] = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array} \right] = \langle (0, 1, 0), (-1, 0, 1) \rangle\]\[E_{\lambda_2}(A) = \text{Nul}(A + 2I) = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}-3 & 0 & -6 \\3 & 3 & 3 \\3 & 0 & 6\end{array} \right] = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right] = \langle (-2, 1, 1) \rangle\] Com que els tres vectors propis \[(0, 1, 0), (-1, 0, 1) \text{ i } (-2, 1, 1)\] són linealment independents, la matriu A és diagonalitzable i \[\begin{bmatrix}-5 & 0 & -6 \\3 & 1 & 3 \\3 & 0 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1 & -2 \\1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -1 & -2 \\1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1\end{bmatrix}^{-1}\]