Diagonalització de Matriu

Calculeu els valors propis i els vectors propis de la matriu $$B = \begin{bmatrix}3 & 0 & -4 \\3 & -2 & -6 \\1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$ i estudieu si és diagonalitzable.

El polinomi característic de la matriu B és \[\left| \begin{array}{ccc}3 – \lambda & 0 & -4 \\3 & -2 – \lambda & -6 \\1 & 0 & -1 – \lambda\end{array} \right| = (-2 – \lambda)\left| \begin{array}{cc}3 – \lambda & -4 \\1 & -1 – \lambda\end{array} \right| = (-2 – \lambda)(1 – 2\lambda + \lambda^2)\]\[= (1 – \lambda)^2(-2 – \lambda)\] Per tant, els valors propis són \[\lambda_1 = 1 \quad \text{i} \quad \lambda_2 = -2.\] Els subespais propis són \[E_{\lambda_1}(B) = \text{Nul}(B – I) = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}2 & 0 & -4 \\3 & -3 & -6 \\1 & 0 & -2\end{array} \right] = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array} \right] = \langle (2, 0, 1) \rangle\]\[E_{\lambda_2}(B) = \text{Nul}(B + 2I) = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}5 & 0 & -4 \\3 & 0 & -6 \\1 & 0 & 1\end{array} \right] = \text{Nul} \left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right] = \langle (0, 1, 0) \rangle\]