Diagonalització d’una matriu quadrada

Siguem \( A \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) \) una matriu quadrada sobre un cos \( \mathbb{K} \) (habitualment \( \mathbb{R} \) o \( \mathbb{C} \)). Es diu que \( A \) és diagonalitzable si existeix una matriu invertible \( P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K}) \) i una matriu diagonal \( D \in \mathbb{M}_n(\mathbb{K}) \) tal que:\[A = P D P^{-1}\]Equivalenment, això vol dir que \( A \) és semblant a una matriu diagonal. Procediment de diagonalització:

1. Càlcul dels valors propis: Es resol el polinomi característic de \( A \): \[ \chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I) \] Els arrels \( \lambda_1, \dots, \lambda_k \in \mathbb{K} \) són els valors propis de \( A \). Cada valor propi \( \lambda_i \) té una multiplicitat algebraica \( m_a(\lambda_i) \), definida com el grau corresponent al factor \( (\lambda – \lambda_i) \) en \( \chi_A(\lambda) \).

2. Determinació dels espais propis: Per a cada \( \lambda_i \), es resol el sistema: \[ \ker(A – \lambda_i I) = \{ v \in \mathbb{K}^n \mid (A – \lambda_i I)v = 0 \} \] L’espai solució és l’espai propi associat a \( \lambda_i \), i la seva dimensió s’anomena multiplicitat geomètrica \( m_g(\lambda_i) \).

3. Verificació de la diagonalitzabilitat: La matriu \( A \) és diagonalitzable si i només si: \[ \sum_{i=1}^k m_g(\lambda_i) = n \quad \text{i} \quad m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i) \ \forall i \] És a dir, si la suma de les dimensions dels espais propis és \( n \) i la dimensió de cada espai propi coincideix amb la multiplicitat algebraica del valor propi corresponent.

4. Construcció de la matriu de canvi de base: S’agrupen els vectors propis en columnes per formar la matriu invertible \( P = [v_1 \,|\, v_2 \,|\, \dots \,|\, v_n] \), on \( v_i \) són vectors propis linealment independents.

5. Formació de la matriu diagonal: La matriu \( D \) és diagonal amb els valors propis de \( A \) a la diagonal principal, en el mateix ordre que els vectors propis a \( P \): \[ D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \]