Problema 1. Examen selectivitat física Illes Balears. Convocatòria Juny 2025

Isaac Newton va deduir que el quocient entre el període orbital al quadrat i el semieix major de l’òrbita al cub d’un planeta que orbita al voltant d’una estrella era $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M_{\text{estrella}} + M_{\text{planeta}})}$. a) Descriviu de manera breu i concisa per què aquesta expressió va servir per justificar la tercera llei de Kepler. b) La massa de l’estrella $\alpha$-Centauri B és $M_B = 1.789 \times 10^{30} \, \text{kg}$. Determinau el valor del quocient $T^2/a^3$ per a un sistema planetari al voltant d’aquesta estrella. c) Calculau el període orbital en anys d’un hipotètic planeta que orbitàs al voltant de l’estrella $\alpha$-Centauri B amb una òrbita el·líptica amb el periastre a $0.45$ ua i l’apoastre a $0.60$ ua. d) L’any 2012, l’Observatori Europeu Austral anuncià el descobriment d’un planeta que orbitava al voltant de l’estrella $\alpha$-Centauri B. Es determinà que tenia una massa semblant a la de la Terra i que el seu període orbital era de $3.2357$ dies. Calculau la longitud en unitats astronòmiques del semieix major de l’òrbita d’aquest planeta usant la tercera llei de Kepler.

a) L’expressió va servir per demostrar la tercera llei de Kepler, perquè $\frac{T^2}{a^3}$ és essencialment constant quan la massa d’una estrella és molt més gran que les masses dels seus planetes, ja que $M_{\text{estrella}} + M_{\text{planeta}} \approx M_{\text{estrella}}$. Això passa en el sistema solar, on la massa del Sol és molt més gran que la dels planetes.

b) El quocient és:
$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot 1.789 \times 10^{30} \, \text{kg}} \Rightarrow \boxed{\frac{T^2}{a^3} = 3.311 \times 10^{-19} \, \text{s}^2 \text{m}^{-3}}$$

c) El semieix major de l’òrbita del planeta és:
$$a = \frac{0.45 \, \text{ua} + 0.6 \, \text{ua}}{2} \Rightarrow a = 7.8539 \times 10^{10} \, \text{m}$$
Per tant:
$$\frac{T^2}{a^3} = 3.31 \times 10^{-19} \, \text{s}^2 \text{m}^{-3} \Rightarrow T = 1.266 \times 10^7 \, \text{s} \Rightarrow T = 0.401 \, \text{anys}$$

d) El període orbital del planeta és:
$$T^2 = 3.31 \times 10^{-19} \, \text{s}^2 \text{m}^{-3}, \quad T = 3.2357 \, \text{dies} = 193164 \, \text{s}$$
$$a^3 = \frac{T^2}{3.31 \times 10^{-19}} \Rightarrow a = 0.0413 \, \text{ua}$$