Càlcul de la Massa de Mart a partir de l’Orbita d’un Satèl·lit

Una sonda espacial artificial entra en òrbita circular al voltant de Mart a una alçada de 300 km sobre la seva superfície. S’observa que el període orbital de la sonda és de 2 hores.

$\textbf{Dades:}$

• Constant de gravitació universal: 4G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}$
• Radi de Mart: $R_{\text{Mart}} = 3{,}39 \times 10^6 \, \mathrm{m}$
• Alçada de l’òrbita: $h = 3{,}0 \times 10^5 \, \mathrm{m}$
• Període orbital: $T = 2 \, \mathrm{h} = 7200 \, \mathrm{s}$

$[\textbf{a)}]$ Calcula la massa de Mart a partir del moviment de la sonda, suposant una òrbita circular.
$[\textbf{b)}]$ Determina la intensitat del camp gravitatori a la superfície de Mart.
$[\textbf{c)}]$ Calcula la velocitat d’escapament des de la superfície marciana.

a) Massa de Mart

Partim de la fórmula del moviment orbital circular:

$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$$

Substituïm les dades:

$$M = \frac{4\pi^2 (3{,}69 \times 10^6)^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot (7200)^2}$$

$$M \approx \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 5{,}03 \times 10^{19}}{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 5{,}18 \times 10^7}$$

$$M \approx 6{,}42 \times 10^{23} \, \mathrm{kg}$$

b) Intensitat del camp gravitatori a la superfície

$$g = \frac{GM}{R_M^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6{,}42 \times 10^{23}}{(3{,}39 \times 10^6)^2}
\approx 3{,}71 \, \mathrm{m/s^2}$$

c) Velocitat d’escapament des de Mart

$$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_M}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6{,}42 \times 10^{23}}{3{,}39 \times 10^6}}
\approx 5{,}0 \cdot 10^3 \, \mathrm{m/s} = 5{,}0 \, \mathrm{km/s}$$