Problema 1. Examen selectivitat Física 2013 Sèrie 3. Catalunya

El Meteosat és un satèl·lit meteorològic llançat per l’Agència Espacial Europea (ESA) que proporciona informació meteorològica d’Àfrica i Europa. Com que l’objectiu del Meteosat és oferir imatges d’una mateixa zona del planeta, el satèl·lit segueix una òrbita geostacionària: gira en el pla equatorial a la mateixa velocitat angular que la Terra a) A quina distància de la superfície terrestre es troba el Meteosat? b) Quina és l’energia cinètica del Meteosat? Quina energia mínima caldria proporcionar-li perquè s’allunyés indefinidament de la Terra?

DADES: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \quad \text{N·m²/kg²}$, $R_{\text{TERRA}} = 6370 \quad \text{km}$, $M_{\text{TERRA}} = 5{,}97 \cdot 10^{24} \quad \text{kg}$, $m_{\text{Meteosat}} = 2{,}00 \cdot 10^{3} \quad \text{kg}$, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \quad \text{N·m²/C²}$

a)

\begin{equation}
m \omega^2 (R_T + d) = \frac{G M_T m}{(R_T + d)^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow \omega^2 (R_T + d)^3 = G M_T
\end{equation}

Com que $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$, s’obté:

\begin{equation}
\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 (R_T + d)^3 = G M_T
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow (R_T + d)^3 = \frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}} – R_T
\end{equation}

\begin{equation}
\Rightarrow d = 3.59 \cdot 10^4 \quad \text{km}
\end{equation}

b)

Energia cinètica del satèl·lit:

\begin{equation}
E_c = \frac{1}{2} m \omega^2 (R_T + d)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{G M_T m}{R_T + d}
\end{equation}

\begin{equation}
E_c = 9{,}42 \cdot 10^9 \quad \text{J}
\end{equation}

Per tal que el satèl·lit s’allunyi de l’atracció de la Terra, la seva energia mecànica ha de ser $0$:

\begin{equation}
E_m = E_c + E_p = -\frac{1}{2} \cdot \frac{G M_T m}{R_T + d} = -E_c
\end{equation}

Per tant, caldrà subministrar-li una energia igual a:

\begin{equation}
E = E_c = 9{,}42 \cdot 10^9 \quad \text{J}
\end{equation}