Pla inlcinat i forces

Dues masses estan connectades mitjançant una corda de massa negligible com indica la figura. El pla inclinat i la politja no tenen fricció. Determineu l’acceleració dels objectes i la tensió de la corda per: a) Per a valors generals de $\alpha$, $m_1$ i $m_2$ b) Per a $\alpha=30^{\circ}$ i $m_1=m_2=5\ \text{kg}$

a) Per a valors generals de $\alpha$, $m_1$ i $m_2$

Descompasant i aplicant la segona llei de Newton a tots dos cossos obtenim:

Per al cos $1$:

\begin{equation}
\sum \vec{F} = m\vec{a} \longrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Eix } x: & T – m_1 g \sin\alpha = m_1 a \\
\text{Eix } y: & N_1 – m_1 g \cos\alpha = 0
\end{array}
\right.
\end{equation}

I per al cos $2$:

\begin{equation}
\sum \vec{F} = m\vec{a} \longrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Eix } x: & \text{—–} \\
\text{Eix } y: & -T + m_2 g = m_2 a
\end{array}
\right.
\end{equation}

Combinant les equacions, obtenim:

\begin{equation}
m_2 g – m_1 g \sin\alpha = m_2 a + m_1 a
\end{equation}

\begin{equation}
g (m_2 – m_1 \sin\alpha) = a (m_2 + m_1)
\end{equation}

\begin{equation}
\boxed{a = \frac{m_2 – m_1 \sin\alpha}{m_2 + m_1} \cdot g \quad \text{[m/s²]}}
\end{equation}

I la tensió ens queda de la següent manera:

\begin{equation}
\boxed{T = m_1 (a – g \sin\alpha) \quad \text{[N]}}
\end{equation}

b) Per a $\alpha = 30^\circ$ i $m_1 = m_2 = 5$

Avaluem en les equacions (5) i (6), tot obtenint:

\begin{equation}
a = \frac{9.81 \cdot (5 – 5 \cdot \sin30^\circ)}{5 + 5} = \boxed{2.45 \quad \text{m/s²}}
\end{equation}

I la tensió:

\begin{equation}
\boxed{T = 5 \cdot (2.45 – 9.81 \cdot \sin30^\circ) = -12.28 \quad \text{N}}
\end{equation}