Anàlisi del Tir de la Fletxa: Inclinació i Velocitat d’Impacte

En una prova de tir, l’arquer dispara una fletxa cap amunt amb una velocitat inicial de $196$ km/h. La fletxa impacta contra una diana a $90$ m de distància de l’arquer al cap de $1.86$ s de ser llançada. Calculeu la inclinació de la velocitat inicial de la fletxa respecte de l’horitzontal i la velocitat amb què impacta contra el blanc.

Dades inicials:

• Velocitat inicial: $v_0 = 196 \, \text{km/h}$
• Distància horitzontal: $x = 90 \, \text{m}$
• Temps de vol: $t = 1.86 \, \text{s}$
• Acceleració de la gravetat: $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ (cap avall)

Convertim la velocitat inicial a m/s:
$$v_0 = 196 \cdot \frac{1000}{3600} = 196 \cdot \frac{5}{18} \approx 54.44 \, \text{m/s}$$

La velocitat inicial $v_0$ es descompon en components horitzontal ($v_{0x}$) i vertical ($v_{0y}$):

• $v_{0x} = v_0 \cos\theta$
• $v_{0y} = v_0 \sin\theta$

a) Inclinació de la velocitat inicial ($\theta$):

La distància horitzontal es calcula com $x = v_{0x} \cdot t$. Substituint:
$$x = (v_0 \cos\theta) \cdot t$$
$$90 = (54.44 \cos\theta) \cdot 1.86$$
$$\cos\theta = \frac{90}{54.44 \cdot 1.86}$$
$$\cos\theta = \frac{90}{101.2384} \approx 0.8893$$
$$\theta = \cos^{-1}(0.8893) \approx 27.3^\circ$$

b) Velocitat d’impacte contra el blanc:

La velocitat vertical al temps $t$ es calcula considerant l’efecte de la gravetat:
$$v_y = v_{0y} – g t$$
$$v_{0y} = v_0 \sin\theta = 54.44 \cdot \sin(27.3^\circ) \approx 54.44 \cdot 0.4588 \approx 24.97 \, \text{m/s}$$
$$v_y = 24.97 – 9.81 \cdot 1.86$$
$$v_y = 24.97 – 18.2466 \approx 6.72 \, \text{m/s}$$

La velocitat horitzontal roman constant (sense resistència de l’aire):
$$v_x = v_{0x} = v_0 \cos\theta \approx 54.44 \cdot 0.8893 \approx 48.41 \, \text{m/s}$$

La velocitat resultant $v$ es calcula amb el teorema de Pitágores:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
$$v = \sqrt{(48.41)^2 + (6.72)^2}$$
$$v = \sqrt{2343.63 + 45.16} \approx \sqrt{2388.79} \approx 48.88 \, \text{m/s}$$

Resposta final:

• Inclinació: $\theta \approx 27.3^\circ$
• Velocitat d’impacte: $v \approx 48.88 \, \text{m/s}$