Anàlisi del Moviment d’una Corda Vibrant: Ones Estacionàries

Considera una corda de longitud $l = 1 \, \text{km}$, densitat de massa $\mu = 1 \, \text{g/m}$, sotmesa a una tensió $T = 10 \, \text{N}$. Un dels seus extrems, (suposa que és el $x = l$), està fixat, i l’altre (suposa que és el $x = 0$) es mou amunt i avall entre els punts $y = \pm 1$ amb un moviment harmònic simple de freqüència $f = 200 \, \text{Hz}$. Respon, ajudant-te d’un esquema del sistema amb els eixos $x$ i $y$ les següents qüestions: a) Calcula l’equació que descriu el desplaçament vertical $y$ del punt $x = 0$ de la corda, suposant que a $t = 0$ el desplaçament vertical d’aquest punt és $y_0 = 0$, i que la seva velocitat vertical $v_y$ és positiva. b) La pertorbació a l’extrem de la corda genera una ona que es propaga per la corda. Quin tipus d’ona és? Quin temps $\boldsymbol{t}$ triga la pertorbació a arribar a l’extrem de la corda $\boldsymbol{x = l}$? c) Calcula la funció d’ona $\boldsymbol{y(x, t)}$ de l’ona que viatja cap a l’extrem fix de la corda.

En moure’s amunt i aball, la corda fenra una ona harmònica (ja que el moviment al punt $x=0$ és un m.h.s. que viatja cap a la dreta.)

Moviment a $x=0$: $y(t)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi)$: és un m.h.s. amb les següents característiques:

• $A = 1$; $y(0) = y_0 = 0$, d’on $\sin\varphi = 0$, per tant $\boxed{\varphi = 0, \pi}$.
• $\boxed{\omega} = 2\pi f = \boxed{400\pi}$.
• $y'(t) = v_y = A\omega\cos(\omega t + \varphi)$, i com $y'(0) > 0$, s’obté $\varphi = 0$.

per tant,

\begin{equation}
\boxed{y(x=0,t) = \sin (400\pi t)\ (\text{m})}
\end{equation}

És una ona harmònica que es propaga cap a la dreta, perquè el moviment a $x = 0$ és un moviment harmònic simple.

L’ona viatja a $\boxed{v} =\displaystyle \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \displaystyle\sqrt{\frac{10}{1 \cdot 10^{-3}}} = \boxed{100}$, i per tant triga $\boxed{t} = \displaystyle\frac{l}{v} =\displaystyle \frac{1000}{100} = \boxed{10}$ a recórrer la corda.

$y(x,t)$ descriu l’ona harmònica que viatja cap a la dreta.

La funció d’ona d’una ona harmònica és (cap a la dreta):

$$y(x,t) = A \cdot \sin(kx – \omega t + \varphi)$$

amb les següents característiques:

$\omega = 400\pi$ (és la freqüència del focus.)
$$\boxed{k} = \displaystyle \frac{2\pi}{\lambda} = \displaystyle\frac{2\pi}{v/f} = \displaystyle\frac{2\pi f}{v} = \displaystyle\frac{2\pi \cdot 200}{100} = \boxed{4\pi}$$
Sabem que a $x = 0$: $y = A \sin(400\pi t) \longrightarrow \varphi = 0$ (de l’apartat (a))

$$\boxed{y(x,t) = \sin(4\pi(x – 100t))}$$

Notem que podem veure $y(x,t)$ té la forma $y(x – vt)$ que té qualsevol ona que es propaga cap a la dreta.