Anàlisi de la Longitud dels Cucs de Seda: Interval de Confiança

La longitud, en mil·límetres (mm), dels individus d’una determinada colònia de cucs de seda es pot aproximar per una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana desconeguda $\mu$ i desviació típica $3$ mm. a) Es toma una mostra aleatòria simple de $48$ cucs de seda i es obté una mitjana mostral igual a $36$ mm. Determini un interval de confiança per a la mitjana poblacional de la longitud dels cucs de seda amb un nivell de confiança del $95\%$. b) Determini el tamany mostral mínim necessari perquè l’error màxim comès en l’estimació de $\mu$ per la mitjana mostral sigui menor o igual a $1$ mm amb un nivell de confiança del $90\%$.

Variable aleatòria: $X \sim N(\mu, 3)$

a) Tamany mostral: $n = 48$; Mitjana mostral: $\bar{x} = 36$; Nivell de confiança: $1 – \alpha = 0’95$; $\sigma = 3$

A un nivell de confiança del $95\%$ li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1’96$

L’interval de confiança per a la longitud mitjana de la població de cucs és:

$$I.C. = \left(\bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \left(36 – 1’96 \cdot \frac{3}{\sqrt{48}}, 36 + 1’96 \cdot \frac{3}{\sqrt{48}}\right)$$

$$I.C. = (35’15, 36’85)$$

b) $E < 1$; Nivell de confiança: $1 – \alpha = 0’90$

$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 1 \implies n > \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2 = \left(\frac{1’645 \cdot 3}{1}\right)^2 = 24’354225$$

El tamany mostral mínim és de $25$ cucs de seda.