Estimació de la Durada de les Bombilles: Interval de Confiança

La durada en hores d’un determinat tipus de bombeta es pot aproximar per una distribució normal amb mitjana $\mu$ i desviació típica igual a $1940$ h. Es pren una mostra aleatòria simple. a) Quin tamany mostral es necessita com a mínim perquè, amb un nivell de confiança del $95\%$, el valor absolut de la diferència entre $\mu$ i la durada mitjana observada $\bar{X}$ de les bombilles de la mostra sigui inferior a $100$ h? b) Si el tamany de la mostra és 225 i la durada mitjana observada $\bar{X}$ és de $12415$ h, obtingui-se un interval de confiança al $90\%$ per $\mu$.

Variable aleatòria: $X \sim N(\mu, 1940)$

a) Es tracta de determinar el tamany mostral $n$ perquè l’error comès sigui inferior a $100$ h amb una confiança del $95\%$.

L’error màxim admissible en l’estimació de la mitjana poblacional, utilitzant l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança $1 – \alpha$ és el radi: $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

A un nivell de confiança del $95\%$ li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1’96$.

Desviació típica poblacional: $\sigma = 1940$

$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 100 \implies n > \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2 = \left(\frac{1’96 \cdot 1940}{100}\right)^2 = 1445’825$$

El tamany de la mostra ha de ser, com a mínim, de $1446$ bombetes.

b) Tamany mostral: $n = 225$; Mitjana mostral: $\bar{x} = 12415$; $1 – \alpha = 0’90$

A un nivell de confiança del $90\%$ li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1’645$.

$\sigma = 1940$

L’interval de confiança per a la mitjana $\mu$ és:

$$I.C. = \left(\bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \left(12415 – 1’645 \cdot \frac{1940}{\sqrt{225}}, 12415 + 1’645 \cdot \frac{1940}{\sqrt{225}}\right)$$

$$I.C. = (12202’2467, 12627’7533)$$