Anàlisi del consum de Dades Mòbils: Interval de Confiança

El nombre de megabytes (Mb) descarregats mensualment pel grup de clients d’una companyia de telefonia mòbil amb la tarifa AA es pot aproximar per una distribució normal. amb una mitjana de $3,5$ Mb i una desviació típica igual a $1,4$ Mb. Es pren una mostra aleatòria simple de mida $49$. a) ¿Quina és la probabilitat que la mitjana mostral sigui inferior a $3,37$ Mb? b) Suposem ara que la mitjana poblacional és desconeguda i que la mitjana mostral pren el valor de $3,42$ Mb. Obtingui-se un interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana de la població.

Mitjana poblacional: $\mu = 3’5 \, \text{Mb}$; Desviació típica: $\sigma = 1’4 \, \text{Mb}$

El nombre de $X$ de Mb descarregats mensualment segueix una normal $X \sim N(3’5, 1’4)$.

Tamany de la mostra: $n = 49$.

a) La distribució de les mitjanes mostrals segueix una normal $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

$$\bar{X} \sim N\left(3’5, \frac{1’4}{\sqrt{49}}\right) = N(3’5, 0’2)$$

$$p(\bar{X} < 3’37) = P_{\text{gràfics}}\left(z < \frac{3’37 – 3’5}{0’2}\right) = p(z < -0’65) = 1 – p(z \leq 0’65) = 1 – 0’7422 = 0’2578.$$

b) Mitjana mostral: $\bar{x} = 3’42 \, \text{Mb}$; Nivell de confiança: $1 – \alpha = 0’95$

A un nivell de confiança del 95% li correspon el valor crític $z_{\alpha/2} = 1’96$.

L’interval de confiança per a la mitjana de la població és:

$$I.C. = \left(\bar{x} – z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \left(3’42 – 1’96 \cdot \frac{1’4}{\sqrt{49}}, 3’42 + 1’96 \cdot \frac{1’4}{\sqrt{49}}\right) = (3’028, 3’812)$$