Problema de preus de peces de roba

En Joan ha gastat $80$ € en la compra d’un jersei, una camisa i uns pantalons. Sabem que el preu del jersei és un terç del preu de la camisa i els pantalons junts. a) És possible determinar de forma única el preu del jersei? I el de la camisa? Raona la resposta. b) Si en Joan hagués esperat a les rebaixes, s’hauria gastat $57$ €, ja que el jersei, la camisa i els pantalons tenien un descompte del 30%, del 40% i del 20%, respectivament. Calcula el preu de cada peça abans de les rebaixes.

El preu total del jersei, la camisa i els pantalons és de $80$ €. El preu del jersei és igual a $\frac{1}{3}$ del preu de la camisa i els pantalons junts. Sigui:

• $x$: preu del jersei (en €).
• $y$: preu de la camisa (en €).
• $z$: preu dels pantalons (en €).

Les equacions són:
\begin{cases}
x + y + z &= 80 \\
x &= \frac{1}{3}(y + z)
\end{cases}

De equacions anteriors, tenim $x = \frac{1}{3}(y + z)$. Substituint::
\[
x + 3x = 80 \implies 4x = 80 \implies x = \frac{80}{4} = 20.
\]

Per tant, el preu del jersei és \textbf{20~\euro}. No es pot determinar el preu de la camisa ni dels pantalons, ja que no hi ha una relació directa entre $y$ i $z$.

Apartat b)

Amb les rebaixes, el preu total és de 57~\euro, amb els següents descomptes:

• Jersei: $-30\%$ (es paga el $70\%$).
• Camisa: $-40\%$ (es paga el $60\%$).
• Pantalons: $-20\%$ (es paga el $80\%$).

Les equacions són:
\begin{cases}
x + y + z &= 80 \\
3x &= y + z \\
0{,}7x + 0{,}6y + 0{,}8z &= 57
\end{cases}

Sabem que $x = 20$ (de l’apartat a). Substituint:
\[
y + z = 80 – 20 = 60 \implies z = 60 – y.
\]

Substituint $x = 20$ i $z = 60 – y$, i multiplicant per 10 per evitar decimals:
\[
7x + 6y + 8z = 570.
\]
\[
7 \cdot 20 + 6y + 8(60 – y) = 570 \implies 140 + 6y + 480 – 8y = 570 \implies 6y – 8y + 620 = 570 \implies -2y = -50 \implies y = 25.
\]

Llavors:
\[
z = 60 – 25 = 35.
\]

Solució final

• Preu del jersei: $\textbf{20 €}$.
• Preu de la camisa: $\textbf{25 €}$.
• Preu dels pantalons: $\textbf{35 €}$.