Problema 1. Examen final Àlgebra I. Febrer 1998

a) Defineix: relació d’equivalència, classe d’equivalència i conjunt cocient mòdul una relació d’equivalència. Dona un exemple.b) Enuncia el teorema de Lagrange. Demostra que un grup el qual ordre és primer, és cíclic. c) Demostra que la equació diofàntica \( ax + by = c \) té solució si i només si \( c \) és múltiple de m.c.d.(\( a, b \)).

b) Teorema de Lagrange: Sea \( G \) un grupu finit i \( H \) un subgrup; el orden de \( H \) divideix el orden de \( G \). Sea \( G \) un grup el qual ordre \( p \) és primer; existeix \( g \in G \) diferent de 1 i per tant \( \text{ord}(g) = q \neq 1 \). El teorema de Lagrange assegura que \( q | p \), de doncs, al ser \( p \) prim es segueix \( p = q \), es dir \( G = \langle g \rangle \).

c) L’ideal \( (a, b) = \{ ax + by \mid x, y \in \mathbb{Z} \} \) està generat per el m.c.d.(\( a, b \)) i per definició els seus elements són els múltiples de m.c.d.(\( a, b \)). Allò anterior és equivalent a:\[ c \in (m.c.d.(a, b)) \iff \exists x, y \in \mathbb{Z} \text{ tals que } ax + by = c. \]