Probabilitats sobre la Conformitat de Comprimits amb Distribució Normal i Geomètrica

Els comprimits d’un medicament per millorar el rendiment han de tenir, segons la normativa, entre 599 i 601 mg de principi actiu. Acceptem que la quantitat de principi actiu es distribueix normalment amb mitjana 600 mg i desviació típica 0,5 mg. Indiqueu la variable aleatòria i el model de distribució que feu servir a cada apartat. Arrodoniu els resultats a dos decimals. (a) Trobeu la probabilitat que un comprimit sigui conforme, és a dir, que compleixi la normativa. (b) Quina és la probabilitat d’haver d’examinar 10 comprimits abans de trobar un de no conforme?

(a) Considerem $X$ la variable aleatòria que indica la quantitat de principi actiu en un comprimit, $X \sim N(600, 0.5)$.
$$p = P(599 < X < 601) = P\left( \frac{599 – 600}{0,5} < \frac{X – 600}{0,5} < \frac{601 – 600}{0,5} \right) =$$

$$ = P(-2 < Z < 2) = \Phi(2) – \Phi(-2) = \Phi(2) – (1 – \Phi(|-2|)) = 2\Phi(2) – 1 = 0,9544997 \approx 0,95$$

(b) Considerem $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de comprimits conformes abans del primer no conforme. $X \sim G(1 – p)$, amb $p$ la probabilitat de conformitat calculada en l’apartat (a).
$$P(X = 10) = (0,95)^{10} \cdot (0,05) = 0,02993685 \approx 0,03.$$