Probabilitats de Millora en Pacients amb Diferents Tractaments

Sobre un determinat conjunt de pacients s’està experimentant amb tres tractaments diferents. Cada pacient rep un sol tractament: un 40% rep el tractament A, un 50% el B i la resta rep el C. La probabilitat de millorar és de 0,8 per al tractament A, 0,6 per al B i 0,7 per al C. (a) Quina és la probabilitat que un d’aquests pacients millori? (b) Si un pacient no millora, quina és la probabilitat que se li hagi aplicat el tractament C? (c) Sabem que 15 pacients han rebut el tractament C. Quina és la probabilitat que millorin tots o tots menys un d’aquests pacients?

(a) ( P(C) = 1 – (0,4 + 0,5) = 0,1 ). Aleshores,
$$P(M) = P(M|A)P(A) + P(M|B)P(B) + P(M|C)P(C) = (0,8)(0,4) + (0,6)(0,5) + (0,7)(0,1) = 0,69.$$

(b)
$$P(C|\overline{M}) = \frac{P(C \cap \overline{M})}{P(\overline{M})} = \frac{P(\overline{M}|C)P(C)}{1 – 0,69} = \frac{(1 – 0,7)(0,1)}{0,31} = 0,097.$$

(c) Sigui $X \sim B(15, 0,7)$ la variable aleatòria que compta el nombre de pacients que milloren.
Ens demanen calcular:
$$P(X = 15) + P(X = 14) = \binom{15}{15}(0,7)^{15}(0,3)^0 + \binom{15}{14}(0,7)^{14}(0,3) = (0,7)^{15} + 15(0,7)^{14}(0,3) = 0,0352.$$