Probabilitats de Rebuig de Components en una Planta Industrial

Una planta industrial produeix un component als torns de matí i de tarda. El 50% de les unitats es produeixen al torn de matí i les altres al torn de tarda. La probabilitat que un component inspeccionat sigui rebutjat és del 3% al torn de matí i del 4% al torn de tarda. (a) Quina és la probabilitat que un component inspeccionat a la fàbrica sigui rebutjat? (b) Suposem que un component ha estat rebutjat, quina és la probabilitat que hagi estat produït al torn de tarda? (c) Tenim un lot de 25 components dels quals 5 són rebutjats. Quina és la probabilitat que, escollint 3 components sense reemplaçament, cap d’ells sigui rebutjat?

(a) Sigui $R$ el conjunt de peces inspeccionades rebutjades. Aleshores,
$$P(R) = P(R \cap M) + P(R \cap T) = P(R|M)P(M) + P(R|T)P(T) = (0,03)(0,5) + (0,04)(0,5) = 0,035.$$

(b)
$$P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{P(R|T)P(T)}{P(R|T)P(T) + P(R|M)P(M)} = \frac{(0,04)(0,5)}{0,035} = 0,5714286.$$

(c)
$$\frac{\binom{20}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot \cancel{17!}}{3! \cdot \cancel{17!}}}{\frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot \cancel{22!}}{3! \cdot \cancel{22!}}} = \frac{20}{25} \cdot \frac{19}{24} \cdot \frac{18}{23} = 0,49565.$$