Probabilitats de Conformitat de Resistències en Circuits Elèctrics

Les especificacions de qualitat d’un circuit elèctric indiquen que ha de tenir una resistència d’entre 290 i 310 Ohms. Suposem que la resistència d’aquests circuits es distribueix normalment amb una mitjana de 300 Ohms i una desviació típica de 8 Ohms. Indiqueu la variable aleatòria i el model de distribució que feu servir a cada apartat. Arrodoniu el resultat a dos decimals. (a) Calculeu la probabilitat que un d’aquests circuits compleixi les especificacions de qualitat. (b) Si examinem 5 circuits, quina és la probabilitat que almenys 4 compleixin les especificacions de qualitat?

(a) Sigui $X$ la variable aleatòria que indica el valor de la resistència dels circuits, $X \sim N(300, 8)$.
$$p = P(290 < X < 310) = P\left( \frac{290 – 300}{8} < \frac{X – 300}{8} < \frac{310 – 300}{8} \right) = P(-1,25 < Z < 1,25) =$$
$$= \Phi(1,25) – \Phi(-1,25) = \Phi(1,25) – (1 – \Phi(|-1,25|)) = 2\Phi(1,25) – 1 = 0,7887005 \approx 0,79.$$

(b) Considerem $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de circuits que compleixen les especificacions de qualitat. $X \sim B(5, p)$, amb $p = 0,79$ (trobada a l’apartat anterior).
$$P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = \binom{5}{4} p^4 (1 – p)^{5-4} + \binom{5}{5} p^5 (1 – p)^{5-5} = 5p^4 (1 – p) + p^5 = 0,7166815 \approx 0,72.$$