Probabilitats en la Loteria Primitiva

Es fa una aposta de 6 números a la loteria primitiva. Quina és la probabilitat de: a) Encertar els sis resultats. b) Encertar cinc resultats i no sis. c) Encertar tres resultats com a mínim.

A la Loteria Primitiva, es trien 6 números d’un total de 49 (de l’1 al 49). A continuació, calcularem les probabilitats demanades:

a) Encertar els 6 números (6 encerts)

El nombre total de combinacions possibles és:

$$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = 13.983.816$$

La probabilitat d’encertar els 6 números és:

$$P(6) = \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13.983.816} \approx 7,15 \times 10^{-8}$$

b) Encertar 5 números (5 encerts, però no 6)

Per encertar 5 dels 6 números premiats, hem de:

1. Escollir 5 dels 6 números premiats: $\binom{6}{5} = 6$.
2. Escollir 1 número dels 43 no premiats: $\binom{43}{1} = 43$.

El nombre de combinacions favorables és:

$$\binom{6}{5} \times \binom{43}{1} = 6 \times 43 = 258$$

La probabilitat és:

$$P(5) = \frac{258}{\binom{49}{6}} = \frac{258}{13.983.816} \approx 1,84 \times 10^{-5}$$

c) Encertar com a mínim 3 números (3, 4, 5 o 6 encerts)

Calculem la probabilitat d’encertar 3, 4, 5 o 6 números:

1. 3 encerts:
   $$\binom{6}{3} \times \binom{43}{3} = 20 \times 12.341 = 246.820$$
2. 4 encerts:
   $$\binom{6}{4} \times \binom{43}{2} = 15 \times 903 = 13.545$$
3. 5 encerts (ja calculat abans): 258
4. 6 encerts: 1

Total de casos favorables:
$$246.820 + 13.545 + 258 + 1 = 260.624$$

Probabilitat:
$$P(\geq 3) = \frac{260.624}{13.983.816} \approx 0,0186 \quad (\text{1,86\%})$$

Resum de probabilitats