Probabilitat en un espai mostral de cartes

Tenim dos jocs de pòquer iguals i sense comodins. Traiem una carta de cada joc. 1) Calculeu la probabilitat que les dues siguin: a) Asos de cors. b) Iguals. c) Del mateix pal. 2) Repetiu l’estudi si ajunteu els dos jocs i traieu les dues cartes sense reposició.

L’espai mostral $\Omega = {(1♥, 1♥), (1♥, 2♥), (2♥, 1♥), \ldots, (1♠, 1♠), \ldots, (1♦, 1♦), \ldots, (6♣, 6♣)}$. Per tant, $c(\Omega) = 52^2$.
Aquests esdeveniments elementals, formats per parelles ordenades, són equiprobables. Per tant,

a) $P(1♥, 1♥) = \frac{1}{52^2} = \frac{1}{2704} \approx 3.7 \times 10^{-4}$.

b) $P(x, x) = \frac{52}{52^2} = \frac{1}{52} \approx 0.0192$)

c) $P\left( {(x♥, y♥)} \cup {(x♠, y♠)} \cup {(x♦, y♦)} \cup {(x♣, y♣)} \right) = 4 \cdot \frac{VR_{13,2}}{52^2} = 4 \cdot \frac{1}{4^2} = \frac{1}{4} = 0.25$

2) $\Omega = {\text{parelles no ordenades de dues cartes triades entre 106}}$, constitueix un conjunt d’esdeveniments elementals equiprobables i $c(\Omega) = \frac{104 \cdot 103}{2}$.
Per estudiar aquest problema, podeu marcar les cartes amb els subíndexs 1 o 2, segons siguin d’un joc o un altre. Així es veu que, per exemple:

• L’esdeveniment “treure dos asos de cors” està format, igual que en l’estudi anterior, per un esdeveniment elemental, $\langle 1♥_1, 1♥_2 \rangle$.

• L’esdeveniment “treure 1 de cors i 4 de trèbols” està format per quatre esdeveniments elementals, $\langle 1♥_1, 4♣_1 \rangle, \langle 1♥_1, 4♣_2 \rangle, \langle 1♥_2, 4♣_1 \rangle, \langle 1♥_2, 4♣_2 \rangle$, mentre que en l’estudi anterior només estava format per dos, $(1♥, 4♣), (4♣, 1♥)$.

Si utilitzem la fórmula de Laplace, obtenim:

a) $\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{104 \cdot 103}{2}} = \displaystyle\frac{1}{52 \cdot 103} = \displaystyle\frac{1}{5356}$

b) $\displaystyle\frac{52}{\displaystyle\frac{104 \cdot 103}{2}} =\displaystyle \frac{1}{103}$

c) $4 \cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{26 \cdot 25}{2}}{\displaystyle\frac{104 \cdot 103}{2}} = \displaystyle\frac{25}{103}$