Probabilitat de tenir tuberculosi donat un resultat positiu en una màquina de raigs X

Una màquina de raigs X, per detectar la tuberculosi, verifica:

• Dóna positiu un 90% de les vegades que una persona està realment malalta.
• Dóna positiu un 1% de les vegades que s’aplica a una persona sana.
  Si la tuberculosi afecta a un 5 per 10,000 de la població, calculeu la probabilitat que estigui realment malalta una persona a la qual la màquina ha donat positiu.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem el teorema de Bayes per calcular la probabilitat que una persona estigui realment malalta ($M$) donat que la màquina ha donat un resultat positiu ($P$).

Dades proporcionades:

• Probabilitat de positiu donat que la persona està malalta (sensibilitat): $P(P|M) = 0.90$.
• Probabilitat de positiu donat que la persona està sana (fals positiu): $P(P|\neg M) = 0.01$.
• Probabilitat d’estar malalt (prevalença): $P(M) = \frac{5}{10,000} = 0.0005$.
• Probabilitat d’estar sa: $P(\neg M) = 1 – P(M) = 1 – 0.0005 = 0.9995$.

Volem calcular $P(M|P)$, la probabilitat que una persona estigui malalta donat un resultat positiu.

Teorema de Bayes:

$$P(M|P) = \frac{P(P|M) \cdot P(M)}{P(P)}$$

On $P(P)$ és la probabilitat total d’obtenir un resultat positiu, que es calcula com:
$$P(P) = P(P|M) \cdot P(M) + P(P|\neg M) \cdot P(\neg M)$$

Pas 1: Càlcul de $P(P)$

$$P(P) = (0.90 \cdot 0.0005) + (0.01 \cdot 0.9995) = 0.010445$$

Pas 2: Càlcul de $P(M|P)$

$$P(M|P) = \frac{P(P|M) \cdot P(M)}{P(P)} = \frac{0.90 \cdot 0.0005}{0.010445} = \frac{0.00045}{0.010445} \approx 0.04308$$

Pas 3: Interpretació

La probabilitat que una persona estigui realment malalta, donat que la màquina ha donat un resultat positiu, és aproximadament $0.04308$, o un 4.31%.

Resposta final:
La probabilitat que una persona estigui realment malalta de tuberculosi, donat un resultat positiu de la màquina de raigs X, és:
$$P(M|P) \approx 0.0431 \text{ (o 4.31%)}$$