Probabilitat d’encertar una travessa de futbol amb 5 empats, 6 uns i 3 dosos

Una penya de travesses de futbol fa una setmana totes les travesses en què apareixen $5$ empats, $6$ uns i $3$ dosos. Quina és la probabilitat que encertin el total de $14$ resultats si tots són igualment probables?

L’espai mostral $\Omega = {\text{travesses possibles}}$ coincideix amb el nombre de col·leccions ordenades de $3$ elements (1, X, 2) agafats de $14$ en $14$, on hi ha repetició no fixada. Per tant, $c(\Omega) = VR_{14,3} = 3^{14}$.

El conjunt $S$ d’apostes que els jugadors han fet està format per totes les col·leccions ordenades de $14$ elements, de manera que els tres elements (1, X, 2) es repeteixen un nombre fixat de vegades: $6$, $5$ i $3$ respectivament. Per tant, la probabilitat és:

$$P(S) = \frac{c(S)}{c(\Omega)} = \frac{\binom{14}{6,5,3}}{3^{14}} = \frac{\frac{14!}{6! \cdot 5! \cdot 3!}}{3^{14}} \approx 0.03516$$