Dau amb probabilitats proporcionals als números: Probabilitat de que surti parell

Tenim un dau on la probabilitat que surti una cara determinada és proporcional al número marcat en aquesta cara. És a dir, la probabilitat de treure la cara $k$ és $p_k = c \cdot k$, on $c$ és una constant de proporcionalitat.

Les cares del dau són $1, 2, 3, 4, 5$ i $6$. Per trobar la constant $c$, imposem que la suma de totes les probabilitats ha de ser $1$:

$$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 + p_6 = 1$$

Substituint les probabilitats:

$$c \cdot 1 + c \cdot 2 + c \cdot 3 + c \cdot 4 + c \cdot 5 + c \cdot 6 = 1$$

Factoritzant $c$:

$$c \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1$$

Calculant la suma:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$

Per tant:

$$c \cdot 21 = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{1}{21}$$

Així, les probabilitats de cada cara són:

$$p_1 = \frac{1}{21}, \quad p_2 = \frac{2}{21}, \quad p_3 = \frac{3}{21}, \quad p_4 = \frac{4}{21}, \quad p_5 = \frac{5}{21}, \quad p_6 = \frac{6}{21}$$

Els nombres parells en les cares del dau són $2, 4$ i $6$. La probabilitat que el resultat sigui parell és la suma de les probabilitats d’aquestes cares:

$$P(\text{parell}) = p_2 + p_4 + p_6 = \frac{2}{21} + \frac{4}{21} + \frac{6}{21} = \frac{12}{21}$$

Simplificant la fracció:

$$\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$$

Resposta final:

$$\boxed{\dfrac{4}{7}}$$