Probabilitats de la Mitjana Mostral en una Distribució Normal

Se sap que les puntuacions d’un test segueixen una distribució normal amb mitjana 36 i desviació típica $4,8$. a) Si es pren una mostra aleatòria de $16$ individus, quina és la probabilitat que la mitjana d’aquesta mostra sigui superior a $35$ punts? b) Quin percentatge de mostres de mida $25$ tenen una mitjana compresa entre $34$ i $36$?

(Apartat a) Sigui $X$ la variable aleatòria que mesura la puntuació obtinguda en el test per una persona escollida a l’atzar. D’aquesta variable sabem que $X \sim N(\mu = 36, \sigma = 4,8)$. Anomenem $\bar{X}{16}$ la variable aleatòria que mesura la mitjana obtinguda en prendre mostres independents de mida $16$. Aleshores, sabem que: $$\bar{X}{16} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = N\left( 36, \frac{4,8}{\sqrt{16}} \right) = N(36, 1,2),$$
i després d’estandarditzar la variable aleatòria,
$$Z = \frac{\bar{X}{16} – 36}{1,2} \sim N(0, 1).$$ Llavors, la probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida 16 sigui superior a 35 punts és: $$P(\bar{X}{16} > 35) = P\left( \frac{\bar{X}_{16} – 36}{1,2} > \frac{35 – 36}{1,2} \right) = P(Z > -0,83) = P(Z \leq 0,83).$$
$$\text{[Consultant la taula de la distribució normal } N(0, 1)\text{]} = 0,7967.$$

(Apartat b) Anomenem ara $\bar{X}{25}$ la variable aleatòria que mesura la mitjana obtinguda en prendre mostres independents de mida $25$. Raonant com abans, sabem que: $$\bar{X}{25} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = N\left( 36, \frac{4,8}{\sqrt{25}} \right) = N(36, 0,96),$$
i per tant,
$$Z = \frac{\bar{X}{25} – 36}{0,96} \sim N(0, 1).$$

El percentatge de mostres de mida $25$ que tenen una mitjana mostral compresa entre $34$ i $36$ és:
$$P(34 < \bar{X}{25} < 36) = P\left( \frac{34 – 36}{0,96} < \frac{\bar{X}{25} – 36}{0,96} < \frac{36 – 36}{0,96} \right) = P(-2,083 < Z < 0) =$$
$$= P(0 < Z < 2,083) = P(Z \leq 2,083) – P(Z \leq 0) = 0,9812 – 0,5 = 0,4812 = 48,12\,\%.$$