Càlcul de l’Error i la Mida Mostral Mínima per a un Interval de Confiança de la Mitjana

Se sap que $(45013; 51003)$ és un interval de confiança, al $95\%$, per a la mitjana d’una variable aleatòria que segueix una distribució normal amb desviació típica $15$. a) Quin és l’error comès? b) Calculeu, amb el mateix nivell de confiança, la mida mostral mínima necessària perquè l’error comès no sigui superior a $108$.

(Apartat a) Com que l’interval de confiança per a la mitjana és $(45013; 51003)$, la mitjana mostral obtinguda és el punt mitjà entre els seus extrems:
$$\bar{x} = \frac{45013 + 51003}{2} = 48008,$$
i l’error màxim comès en calcular l’interval és la distància entre la mitjana i qualsevol dels extrems de l’interval de confiança, és a dir:
$$E = 48008 – 45013 = 2995.$$

(Apartat b) D’altra banda, suposem que volem cometre un error màxim $E \leq E_0 = 108$ amb un $p = 1 – \alpha = 95\,\%$ de confiança. Aleshores, la mida mostral mínima $n$ que s’ha de prendre ha de complir:
$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E_0} \right)^2,$$
on $\sigma = 15$ és la desviació típica, $E_0 = 108$ és l’error màxim admissible i $z_{\alpha/2}$ és l’únic nombre real que compleix que $P(Z > z_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2} = 0,025$, sent $Z$ una variable amb distribució normal estàndard. Com que disposem d’una taula de cues a l’esquerra, traduïm aquesta condició amb l’esdeveniment complementari, és a dir, $P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 – 0,025 = 0,975$. Cerquem aquest valor a la taula de la distribució normal estàndard, trobant el valor crític $z_{\alpha/2} = 1,96$.

Així, la mida mostral mínima ha de complir:
$$n \geq \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E_0} \right)^2 = \left( \frac{1,96 \cdot 15}{108} \right)^2 = \left( \frac{49}{3} \right)^2 = \frac{2401}{9} \approx 266,78,$$
per la qual cosa prendrem una mostra d’almenys $267$ individus.