Interval de confiança per a la proporció de femelles en una població d’ànecs

a) Trobeu un interval de confiança, amb un nivell del $98\,\%$, per a la proporció de femelles entre aquests pollets. b) Raoneu, a partir de l’interval trobat, si a aquest nivell de confiança es pot admetre que la veritable proporció de femelles d’ànec en aquesta granja és $0,5$.

(Apartat a) Com que hi ha $120$ femelles en una mostra de mida $n = 200$, la proporció mostral de femelles entre els pollets d’ànec és $\hat{p} = \frac{120}{200} = 0,6$. Atès que $n \geq 30$, $n \cdot \hat{p} = 200 \cdot 0,6 = 120 \geq 5$ i $n \cdot (1 – \hat{p}) = 200 \cdot 0,4 = 80 \geq 5$, podem utilitzar l’aproximació de De Moivre per obtenir la fórmula de l’interval de confiança per a la proporció poblacional de femelles, que és:
$$\text{IC} = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right].$$

Per aplicar aquesta fórmula, cal calcular el valor crític $z_{\alpha/2}$ al nivell de confiança del $98\,\%$ (o, cosa equivalent, a un nivell de significació $\alpha = 2\,\% = 0,02$). Per fer-ho, recordem que el nombre $z_{\alpha/2}$ és l’únic nombre real que compleix que $P(Z > z_{\alpha/2}) = \frac{\alpha}{2} = 0,01$, sent $Z$ una variable amb distribució normal estàndard. Com que disposem d’una taula de cues a l’esquerra, traduïm aquesta condició amb l’esdeveniment oposat, és a dir, $P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 – 0,01 = 0,99$.

Cerquem aquest valor a la taula de la distribució normal estàndard, trobant el valor crític $z_{\alpha/2} = 2,325$ (també serien acceptables les aproximacions per defecte $2,32$ i per excés $2,33$).

D’aquesta manera, l’interval de confiança és:
$$\text{IC} = \left[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} (1 – \hat{p})}{n}} \right] = \left[ 0,6 \pm 2,325 \cdot \sqrt{\frac{0,6 \cdot 0,4}{200}} \right] \approx \left[ 0,6 \pm 0,08 \right] = [0,52; 0,68].$$

Això significa que, amb un $98\,\%$ de confiança, la proporció de femelles en tota la població està entre el $52\,\%$ i el $68\,\%$.

(Apartat b) Sens dubte, a aquest nivell de confiança, hem de rebutjar l’afirmació que estableix que la proporció de femelles d’ànec en aquesta granja sigui del $50\%$, ja que el valor $0,5$ no es troba dins de l’interval de confiança que hem determinat.