Probabilitat i el vaixell

Un vaixell cobreix diàriament el servei entre dos ports. Se sap que la probabilitat daccident en dia sense boira és $0,005$, i en dia de boira, $0,07$. Un cert dia de un mes en què hi va haver $18$ dies sense boira i $12$ amb boira es va produir un accident. Calcula la probabilitat que l’accident hagi estat en un dia sense boira.

Per calcular la probabilitat que un accident ocorregut en un dia determinat hagi succeït en un dia sense boira, utilitzarem el teorema de Bayes.

Definicions i dades

• Esdeveniments:
• $A_1$: L’accident va ocórrer en un dia sense boira.
• $A_2$: L’accident va ocórrer en un dia amb boira.
• $B$: Es va produir un accident.
• Probabilitats conegudes:
• $P(A_1) = \frac{18}{30} = 0.6$ (dies sense boira)
• $P(A_2) = \frac{12}{30} = 0.4$ (dies amb boira)
• $P(B | A_1) = 0.005$ (probabilitat d’accident en un dia sense boira)
• $P(B | A_2) = 0.07$ (probabilitat d’accident en un dia amb boira)

Pas 1: Calcular $P(B)$

Utilitzem la regla de la probabilitat total per trobar $P(B)$:

$$P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)$$

Substituint els valors:

$$P(B) = (0.005) \cdot (0.6) + (0.07) \cdot (0.4)$$
$$P(B) = 0.003 + 0.028 = 0.031$$

Pas 2: Aplicar el teorema de Bayes

Volem trobar $P(A_1 | B)$, que és la probabilitat que l’accident hagi ocorregut en un dia sense boira donat que va ocórrer un accident. Segons el teorema de Bayes:

$$P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}$$

Substituint els valors que hem calculat:

$$P(A_1 | B) = \frac{(0.005) \cdot (0.6)}{0.031}$$
$$P(A_1 | B) = \frac{0.003}{0.031} \approx 0.09677$$

Resultat

Per tant, la probabilitat que l’accident hagi ocorregut en un dia sense boira és aproximadament:

$$P(A_1 | B) \approx 0.0968 \quad \text{o} \quad 9.68\%$$