LEMNISCATA
Matemàtiques
Un vaixell cobreix diàriament el servei entre dos ports. Se sap que la probabilitat daccident en dia sense boira és $0,005$, i en dia de boira, $0,07$. Un cert dia de un mes en què hi va haver $18$ dies sense boira i $12$ amb boira es va produir un accident. Calcula la probabilitat que l’accident hagi estat en un dia sense boira.
Per calcular la probabilitat que un accident ocorregut en un dia determinat hagi succeït en un dia sense boira, utilitzarem el teorema de Bayes.
Utilitzem la regla de la probabilitat total per trobar $P(B)$:
$$P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2)$$
Substituint els valors:
$$P(B) = (0.005) \cdot (0.6) + (0.07) \cdot (0.4)$$
$$P(B) = 0.003 + 0.028 = 0.031$$
Volem trobar $P(A_1 | B)$, que és la probabilitat que l’accident hagi ocorregut en un dia sense boira donat que va ocórrer un accident. Segons el teorema de Bayes:
$$P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)}$$
Substituint els valors que hem calculat:
$$P(A_1 | B) = \frac{(0.005) \cdot (0.6)}{0.031}$$
$$P(A_1 | B) = \frac{0.003}{0.031} \approx 0.09677$$
Per tant, la probabilitat que l’accident hagi ocorregut en un dia sense boira és aproximadament:
$$P(A_1 | B) \approx 0.0968 \quad \text{o} \quad 9.68\%$