Grau de satisfacció dels serveis públics. Distribució normal

L’estudi d’un qüestionari sobre el grau de satisfacció dels usuaris de serveis públics revela que la satisfacció segueix una distribució normal, amb una nota mitjana de $5,7$ punts i amb una desviació típica de $0,5$ punts. a) Calcula la probabilitat que la qualificació d’un usuari estigui entre $6$ i $7$ punts. b) De $1000$ usuaris, quants hauran atorgat una nota entre $4$ i $6$ punts?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la distribució normal, ja que la satisfacció dels usuaris segueix aquesta distribució.

Dades del problema

• Mitjana $\mu$: $5,7$ punts
• Desviació típica $\sigma$: $0,5$ punts

a) Calcular la probabilitat que la qualificació d’un usuari estigui entre $6$ i $7$ punts.

Primer, necessitem estandaritzar els valors utilitzant la fórmula de la puntuació $z$:

$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$

On:

• $x$ és el valor que estem estandarditzant.
• $\mu$ és la mitjana.
• $\sigma$ és la desviació típica.

Calcular $z$ per $6$ i $7$ punts:

1. Per $x = 6$:

$$z_1 = \frac{6 – 5.7}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$$

2. Per $x = 7$:

$$z_2 = \frac{7 – 5.7}{0.5} = \frac{1.3}{0.5} = 2.6$$

Ara busquem les probabilitats acumulades:

Utilitzarem la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora estadística per trobar $P(Z < z)$.

• Probabilitat per $z_1 = 0.6$:

$$P(Z < 0.6) \approx 0.7257$$

• Probabilitat per $z_2 = 2.6$:

$$P(Z < 2.6) \approx 0.9953$$

Calcular la probabilitat que la qualificació estigui entre $6$ i $7$:

$$P(6 < X < 7) = P(Z < 2.6) – P(Z < 0.6) \approx 0.9953 – 0.7257 = 0.2696$$

Resposta per a):

La probabilitat que la qualificació d’un usuari estigui entre 6 i 7 punts és aproximadament $0.2696$ o $26.96\%$.

---

b) De $1.000$ usuaris, quants hauran atorgat una nota entre $4$ i $6$ punts?

Calcular $z$ per $4$ i $6$ punts:

1. Per $x = 4$:

$$z_3 = \frac{4 – 5.7}{0.5} = \frac{-1.7}{0.5} = -3.4$$

2. Per $x = 6$ (ja calculat anteriorment):

$$z_1 = 0.6$$

Buscar les probabilitats acumulades:

• Probabilitat per $z_3 = -3.4$:

$$P(Z < -3.4) \approx 0.0003 \quad (\text{valor molt petit, pràcticament 0})$$

• Probabilitat per $z_1 = 0.6$:

$$P(Z < 0.6) \approx 0.7257$$

Calcular la probabilitat que la qualificació estigui entre $4$ i $6$:

$$P(4 < X < 6) = P(Z < 0.6) – P(Z < -3.4) \approx 0.7257 – 0.0003 = 0.7254$$

Calcular el nombre d’usuaris:

Ara multipliquem la probabilitat pel nombre total d’usuaris:

$$\text{Nombre d’usuaris} = 1000 \times P(4 < X < 6) \approx 1000 \times 0.7254 = 725.4$$

Resposta per b):

Dels $1.000$ usuaris, aproximadament $725$ hauran atorgat una nota entre $4$ i $6$ punts.