LEMNISCATA
Matemàtiques
L’estudi dun qüestionari sobre el grau de satisfacció dels usuaris de serveis públics revela que la satisfacció segueix una distribució normal, amb una nota mitjana de $5,7$ punts i amb una desviació típica de $0,5$ punts. a) Calcula la probabilitat que la qualificació d’un usuari estigui entre $6$ i $7$ punts. b) De $1000$ usuaris, quants hauran atorgat una nota entre $4$ i $6$ punts?
Per resoldre aquest problema, utilitzarem la distribució normal, ja que la satisfacció dels usuaris segueix aquesta distribució.
Primer, necessitem estandaritzar els valors utilitzant la fórmula de la puntuació $z$:
$$z = \frac{x – \mu}{\sigma}$$
On:
$$z_1 = \frac{6 – 5.7}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$$
$$z_2 = \frac{7 – 5.7}{0.5} = \frac{1.3}{0.5} = 2.6$$
Utilitzarem la taula de la distribució normal estàndard o una calculadora estadística per trobar $P(Z < z)$.
$$P(Z < 0.6) \approx 0.7257$$
$$P(Z < 2.6) \approx 0.9953$$
$$P(6 < X < 7) = P(Z < 2.6) – P(Z < 0.6) \approx 0.9953 – 0.7257 = 0.2696$$
La probabilitat que la qualificació d’un usuari estigui entre 6 i 7 punts és aproximadament $0.2696$ o $26.96\%$.
$$z_3 = \frac{4 – 5.7}{0.5} = \frac{-1.7}{0.5} = -3.4$$
$$z_1 = 0.6$$
$$P(Z < -3.4) \approx 0.0003 \quad (\text{valor molt petit, pràcticament 0})$$
$$P(Z < 0.6) \approx 0.7257$$
$$P(4 < X < 6) = P(Z < 0.6) – P(Z < -3.4) \approx 0.7257 – 0.0003 = 0.7254$$
Ara multipliquem la probabilitat pel nombre total d’usuaris:
$$\text{Nombre d’usuaris} = 1000 \times P(4 < X < 6) \approx 1000 \times 0.7254 = 725.4$$
Dels $1.000$ usuaris, aproximadament $725$ hauran atorgat una nota entre $4$ i $6$ punts.