LEMNISCATA
Matemàtiques
En un estudi sobre la utilització de noves tecnologies entre els estudiants de Batxillerat, s’ha realitzat una enquesta a $\mathbf{500}$ estudiants triats mitjançant mostreig aleatori simple, resultant que $\mathbf{380}$ són usuaris d’una determinada xarxa social. [a)] Calculeu un interval de confiança al $\mathbf{97\%}$ per a la proporció d’estudiants que són usuaris d’aquesta xarxa social. [b)] Suposant que es manté la proporció mostral, determineu el nombre mínim d’estudiants als quals caldria entrevistar perquè, amb un nivell de confiança del $\mathbf{96\%}$, l’error comès en estimar la proporció d’usuaris de la xarxa social esmentada no superi el $\mathbf{2\%}$.
[a)] Per calcular l’interval de confiança per a la proporció fem servir la fórmula:
\begin{equation}
\left(p-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n},p+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}\right)
\end{equation}
sent $p$ la proporció d’usuaris de la xarxa social a la mostra: $p=\dfrac{380}{500}=0.76$, i $q=1-p$.
A un nivell de confiança del $97\%$ li correspon $z_{\alpha/2}=2.17$, després l’interval de confiança és:
\begin{equation}
\left(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}},(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}}\right)=
\end{equation}
\begin{equation}
=(0.76-0.0414,0.76+0.0414)=(0.7186,0.8014)
\end{equation}
[b)] Per a un nivell de confiança del $96\%$, tenim $z_{\alpha/2}=2.054$.
L’error comès en estimar la proporció és: $E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}$. Un error del $2\%$ seria $E=0.02$, per tant, el nombre d’estudiants ha de ser:
\begin{equation}
0.02=2.054\cdot\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;
\end{equation}
\begin{equation}
0.009737=\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;
\end{equation}
\begin{equation}
9.48\cdot10^{-5}=\dfrac{0.1824}n~;
\end{equation}
\begin{equation}
n=1924.5
\end{equation}
És a dir, que cal entrevistar almenys $1925$ estudiants.