Interval de confiança i les noves tecnologies

Interval de confiança i les noves tecnologies
12 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

En un estudi sobre la utilització de noves tecnologies entre els estudiants de Batxillerat, s’ha realitzat una enquesta a $\mathbf{500}$ estudiants triats mitjançant mostreig aleatori simple, resultant que $\mathbf{380}$ són usuaris d’una determinada xarxa social. [a)] Calculeu un interval de confiança al $\mathbf{97\%}$ per a la proporció d’estudiants que són usuaris d’aquesta xarxa social. [b)] Suposant que es manté la proporció mostral, determineu el nombre mínim d’estudiants als quals caldria entrevistar perquè, amb un nivell de confiança del $\mathbf{96\%}$, l’error comès en estimar la proporció d’usuaris de la xarxa social esmentada no superi el $\mathbf{2\%}$.

[a)] Per calcular l’interval de confiança per a la proporció fem servir la fórmula:
\begin{equation}
\left(p-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n},p+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}\right)
\end{equation}
sent $p$ la proporció d’usuaris de la xarxa social a la mostra: $p=\dfrac{380}{500}=0.76$, i $q=1-p$.
A un nivell de confiança del $97\%$ li correspon $z_{\alpha/2}=2.17$, després l’interval de confiança és:
\begin{equation}
\left(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}},(0.76-2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.76(1-0.76)}{500}}\right)=
\end{equation}
\begin{equation}
=(0.76-0.0414,0.76+0.0414)=(0.7186,0.8014)
\end{equation}
[b)] Per a un nivell de confiança del $96\%$, tenim $z_{\alpha/2}=2.054$.
L’error comès en estimar la proporció és: $E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{pq}n}$. Un error del $2\%$ seria $E=0.02$, per tant, el nombre d’estudiants ha de ser:
\begin{equation}
0.02=2.054\cdot\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;
\end{equation}
\begin{equation}
0.009737=\sqrt{\dfrac{0.76\cdot0.24}n}~;
\end{equation}
\begin{equation}
9.48\cdot10^{-5}=\dfrac{0.1824}n~;
\end{equation}
\begin{equation}
n=1924.5
\end{equation}

És a dir, que cal entrevistar almenys $1925$ estudiants.

Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *