Probabilitat d’obtenir el rei d’espases

Es té una baralla espanyola completa de 48 cartes i una altra baralla de 4 cartes que conté només els quatre reis. S’agafa a l’atzar una carta de la baralla de 4 cartes i s’introdueix a la baralla completa. Després, es treu a l’atzar una carta d’aquesta última baralla. Calculeu la probabilitat que sigui el rei d’espases.

Solució:

Dades inicials:

• Baralla completa: 48 cartes, amb 12 cartes per cada pal (oros, copes, espases, bastos), incloent-hi un rei per pal (per tant, hi ha 1 rei d’espases).
• Baralla petita: 4 cartes, corresponents als quatre reis (un per pal: oros, copes, espases, bastos).
• Es tria una carta a l’atzar de la baralla petita (probabilitat $\frac{1}{4}$ per a cada rei) i s’afegeix a la baralla completa, que passa a tenir $48 + 1 = 49$ cartes.
• Es treu una carta a l’atzar de la baralla resultant de 49 cartes.
• Volem calcular la probabilitat que la carta treta sigui el rei d’espases.

Càlcul de la probabilitat:

Utilitzem la fórmula de la probabilitat total, considerant els possibles casos segons quina carta s’ha afegit a la baralla completa. Definim:

• $S$: Esdeveniment que la carta treta sigui el rei d’espases.
• $R_E$: Esdeveniment que la carta afegida sigui el rei d’espases.
• $R_O$: Esdeveniment que la carta afegida sigui el rei d’oros.
• $R_C$: Esdeveniment que la carta afegida sigui el rei de copes.
• $R_B$: Esdeveniment que la carta afegida sigui el rei de bastos.

La probabilitat d’afegir cada rei és:
$$P(R_E) = P(R_O) = P(R_C) = P(R_B) = \frac{1}{4}$$

La probabilitat total que la carta treta sigui el rei d’espases és:

$$P(S) = P(S|R_E) \cdot P(R_E) + P(S|R_O) \cdot P(R_O) + P(S|R_C) \cdot P(R_C) + P(S|R_B) \cdot P(R_B)$$

Calculem cada terme:

1. Si s’afegeix el rei d’espases ($R_E$):

• La baralla té 49 cartes, amb 2 reis d’espases (l’original + l’afegit).
• Probabilitat de treure el rei d’espases:
  $$P(S|R_E) = \frac{2}{49}$$
• Contribució:
  $$P(S|R_E) \cdot P(R_E) = \frac{2}{49} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{196}$$

1. Si s’afegeix el rei d’oros, copes o bastos ($R_O, R_C, R_B$):

• La baralla té 49 cartes, però només hi ha 1 rei d’espases (l’original).
• Probabilitat de treure el rei d’espases:
  $$P(S|R_O) = P(S|R_C) = P(S|R_B) = \frac{1}{49}$$
• Contribució per cada cas:
  $$P(S|R_O) \cdot P(R_O) = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{196}$$
  $$P(S|R_C) \cdot P(R_C) = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{196}$$
  $$P(S|R_B) \cdot P(R_B) = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{196}$$

Suma de les contribucions:

$$P(S) = \frac{2}{196} + \frac{1}{196} + \frac{1}{196} + \frac{1}{196} = \frac{2 + 1 + 1 + 1}{196} = \frac{5}{196}$$

Simplifiquem:

$$\frac{5}{196}$$

Resposta: La probabilitat que la carta treta sigui el rei d’espases és $\frac{5}{196} \approx 0.0255$.