Probabilitat amb urnes i boles

Una urna A conté 2 boles vermelles i 3 de negres. Una segona urna B conté 4 boles vermelles i 5 de negres. Escollim una d’aquestes urnes a l’atzar i en traiem una bola. a) Calculeu la probabilitat que la bola sigui vermella. b) Sabent que ha sortit una bola vermella, calculeu la probabilitat que l’urna escollida hagi estat la urna A.

Dades inicials:

• Urna A: 2 boles vermelles i 3 boles negres (total: 5 boles).
• Urna B: 4 boles vermelles i 5 boles negres (total: 9 boles).
• Probabilitat d’escollir cada urna: $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$.

a) Probabilitat que la bola sigui vermella ($P(V)$):

Utilitzem la fórmula de la probabilitat total:

$$P(V) = P(V|A) \cdot P(A) + P(V|B) \cdot P(B)$$

• Probabilitat de vermella donada l’urna A:
  $$P(V|A) = \frac{2}{5}$$
• Probabilitat de vermella donada l’urna B:
  $$P(V|B) = \frac{4}{9}$$
• Substituïm:
  $$P(V) = \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{10} + \frac{4}{18} = \frac{1}{5} + \frac{2}{9}$$
• Denominador comú (45):
  $$\frac{1}{5} = \frac{9}{45}, \quad \frac{2}{9} = \frac{10}{45}$$
  $$P(V) = \frac{9}{45} + \frac{10}{45} = \frac{19}{45}$$

Resposta a): La probabilitat que la bola sigui vermella és $\frac{19}{45} \approx 0.4222$.

b) Probabilitat que l’urna sigui A, sabent que la bola és vermella ($P(A|V)$):

Utilitzem la fórmula de Bayes:

$$P(A|V) = \frac{P(V|A) \cdot P(A)}{P(V)}$$

• Valors: $P(V|A) = \frac{2}{5}$, $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(V) = \frac{19}{45}$.
• Substituïm:
  $$P(A|V) = \frac{\left( \frac{2}{5} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)}{\frac{19}{45}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{19}{45}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{45}{19} = \frac{45}{95} = \frac{9}{19}$$

Resposta b): La probabilitat que l’urna escollida sigui l’urna A, sabent que la bola és vermella, és $\frac{9}{19} \approx 0.4737$.

Resum final:

• a) $P(V) = \frac{19}{45} \approx 0.4222$
• b) $P(A|V) = \frac{9}{19} \approx 0.4737$