Anàlisi de la qualitat en la fabricació de retoladors

Una fàbrica de retoladors fabrica retoladors blaus i vermells en la mateixa proporció (50% de cada color). A causa de defectes en el procés de fabricació, alguns retoladors surten amb la tinta del color incorrecte. Sabem que el 82% dels retoladors blaus porten tinta blava (correcte) i el 92% dels retoladors vermells porten tinta vermella (correcte). a) Calculeu la probabilitat que un retolador escollit a l’atzar tingui la tinta correcta. b) Si sabem que un retolador escollit a l’atzar és defectuós (té tinta d’un altre color), quina és la probabilitat que escrigui en vermell?

Dades de l’enunciat:

• Hi ha 50% de retoladors blaus i 50% de vermells.
• El 82% dels blaus tenen tinta blava → són correctes.
  → per tant, el 18% són defectuosos (tenen tinta vermella).
• El 92% dels vermells tenen tinta vermella → són correctes.
  → per tant, el 8% són defectuosos (tenen tinta blava).

Definim els esdeveniments:

• BB: el retolador és blau → $P(B) = 0{,}5$
• VV: el retolador és vermell → $P(V) = 0{,}5$
• CC: el retolador té la tinta que li pertoca
• DD: el retolador és defectuós (tinta incorrecta)

a) Probabilitat que un retolador tingui la tinta correcta

Fem servir la regla de la probabilitat total: $$P(C) = P(C|B) \cdot P(B) + P(C|V) \cdot P(V)$$ $$P(C) = 0{,}82 \cdot 0{,}5 + 0{,}92 \cdot 0{,}5 = \frac{0{,}82 + 0{,}92}{2} = \frac{1{,}74}{2} = 0{,}87$$

✅ Resposta a): La probabilitat que un retolador tingui la tinta correcta és $\boxed{0{,}87}$

b) Probabilitat que un retolador defectuós escrigui en vermell

Ara volem saber: $P(\text{escriu en vermell} \, | \, D)$

Hi ha dues maneres en què un retolador defectuós pot escriure en vermell:

• És blau però té tinta vermella → $B \cap D$
• És vermell però amb tinta blava → escriuria en blau (no ens interessa aquí)

Només ens interessa el cas blau amb tinta vermella. $P(B \cap D) = P(B) \cdot P(D|B) = 0{,}5 \cdot 0{,}18 = 0{,}09$

La probabilitat total que un retolador sigui defectuós és: $$P(D) = P(B \cap D) + P(V \cap D) = 0{,}5 \cdot 0{,}18 + 0{,}5 \cdot 0{,}08 = 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}13$$

Ara podem aplicar la fórmula de la probabilitat condicionada: $$P(\text{vermell} \, | \, D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}09}{0{,}13} \approx 0{,}6923$$

✅ Resposta b): La probabilitat que un retolador defectuós escrigui en vermell és $0,6923\boxed{0{,}6923}$ o aproximadament 69,23%