Càlcul de probabilitats en un trajecte amb escales mecàniques avariables

En un trajecte de metro utilitzem dues escales mecàniques, A i B.
L’escala A està avariada un de cada 10 dies, mentre que l’escala B s’avaria un de cada 7 dies.
Les dues escales s’avarien independentment.

En un viatge concret, calculeu quina és la probabilitat que:

a) Estiguin les dues escales avariades
b) Com a mínim, hi hagi una escala avariada
c) No hi hagi cap escala avariada
d) Hi hagi exactament una escala avariada

Definim els esdeveniments:

• $A$: l’escala A està avariada →$P(A) = \frac{1}{10}$
• $B$: l’escala B està avariada → $P(B) = \frac{1}{7}$

Com que A i B són independents, podem aplicar la regla del producte per a la intersecció.

a) Probabilitat que les dues escales estiguin avariades
Calculem la intersecció $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{70}$$

b) Probabilitat que com a mínim una escala estigui avariada
És l’esdeveniment $P(A \cup B)$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{10} + \frac{1}{7} – \frac{1}{70} = \frac{7 + 10 – 1}{70} = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$$

c) Probabilitat que no hi hagi cap escala avariada
És el complement de l’apartat anterior, o bé: $$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = \frac{9}{10} \cdot \frac{6}{7} = \frac{54}{70} = \frac{27}{35}$$

També es podia obtenir com $$1 – P(A \cup B) = 1 – \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$$

d) Probabilitat que hi hagi exactament una escala avariada
És la suma de dues situacions:

• A està avariada i B no: $\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{70}$
• A no està avariada i B sí: $\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{70}$

$$P(\text{exactament una}) = \frac{6}{70} + \frac{9}{70} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$$

Resum de resultats: