Probabilitat de fabricar peces no acceptables

Una màquina fabrica peces amb una llargada que segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 150 \, \text{cm}$ i desviació típica $\sigma = 2 \, \text{cm}$. Les peces són acceptades si la seva llargada està entre $150 – 3 = 147 \, \text{cm}$ i $150 + 3 = 153 \, \text{cm}$. Calculeu la probabilitat que una peça sigui no acceptable (és a dir, que la llargada sigui menor que $147$ cm o major que $153$ cm).

Dades inicials:

• Distribució normal: $X \sim N(\mu = 150, \sigma = 2)$.
• Interval acceptable: $147 \leq X \leq 153$.
• Probabilitat de peces no acceptables: $P(X < 147 \text{ o } X > 153)$.

Com la distribució normal és simètrica i contínua, la probabilitat de peces no acceptables és:

$$P(X < 147 \text{ o } X > 153) = P(X < 147) + P(X > 153)$$

Pas 1: Estandardització

Convertim els valors de llargada a la distribució normal estàndard $Z \sim N(0, 1)$ utilitzant la fórmula:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

• Per $X = 147$:
  $$Z = \frac{147 – 150}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$$
• Per $X = 153$:
  $$Z = \frac{153 – 150}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Llavors, la probabilitat de peces no acceptables és:

$$P(X < 147 \text{ o } X > 153) = P(Z < -1.5) + P(Z > 1.5)$$

Com la distribució normal és simètrica, $P(Z < -1.5) = P(Z > 1.5)$. Per tant:

$$P(X < 147 \text{ o } X > 153) = 2 \cdot P(Z > 1.5)$$

Pas 2: Càlcul de $P(Z > 1.5)$

La probabilitat $P(Z > 1.5)$ es calcula com:

$$P(Z > 1.5) = 1 – P(Z \leq 1.5)$$

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard, busquem $P(Z \leq 1.5)$:

$$P(Z \leq 1.5) \approx 0.9332$$

Llavors:

$$P(Z > 1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668$$

Pas 3: Probabilitat total

Multipliquem per $2$ per obtenir la probabilitat total de peces no acceptables:

$$P(X < 147 \text{ o } X > 153) = 2 \cdot 0.0668 = 0.1336$$

Resposta:

La probabilitat que una peça sigui no acceptable és $0.1336$ o, equivalentment, un $13.36\%$.