Probabilitat de victòria dels opositors a l’alcalde en una mostra

El $42\%$ dels habitants d’un municipi és contrari a la gestió de l’alcalde i el resta són partidaris d’este. Si se toma una mostra de $64$ individus, quin és la probabilitat que guanyin los que se oposen a l’alcalde?

S’ha de calcular la probabilitat que la proporció de la mostra sigui superior a 0.5, és a dir \(\hat{p} = \frac{x}{64} > 0.5\) o equivalentment, que el nombre de los que se oposen a la mostra sigui \(x > 0.5 \cdot 64 = 32\). Una altra manera seria. En una mostra de 64 individus \(x\) són los que se oposen. Per que guanyin los que se oposen, \(x\) ha de ser al menys la meitat de los vots més un, és a dir \(x \geq 33\). Sent \(n = 64\) \(\mu = n \cdot p = 26.88\) \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{64 \cdot 0.42 \cdot 0.58} = 3.95\) Calculem \(P(33 \leq x)\) aproximant a la distribució normal, \(x \sim N(26.88; 3.95)\) $$P(33 \leq x) = 1 – P(x \leq 32)$$ $$= 1 – P\left(z < \frac{32.5 – 26.88}{3.95}\right)$$ $$= 1 – \Phi(1.42) \approx 0.0778$$