Càlcul de la distribució i probabilitat de menors en una localitat

En una localitat de $6000$ habitants, la proporció de menors de $16$ anys és $p = \frac{1}{4}$. a) Quina és la distribució de la proporció de menors de $16$ anys en mostres de $50$ habitants de dita població? b) Troba la probabilitat que, en una mostra de $50$ habitants, hi hagi entre $15$ i $20$ habitants menors de $16$ anys.

a) $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$; $\hat{p} \sim N(0{,}25;\ \sqrt{0{,}25 \cdot 0{,}75 / 50})$

b) Sent $n = 50$, $\mu = n \cdot p = 12{,}5$ i $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{50 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}} = 3{,}06$, tenim $x \sim N(12{,}5;\ 3{,}06)$$P(14 \leq x \leq 20) = P\left(\frac{13{,}5 – 12{,}5}{3{,}06} < z < \frac{20{,}5 – 12{,}5}{3{,}06}\right)$$= \Phi(2{,}61) – \Phi(0{,}33) \approx 0{,}366$