Anàlisi Predictiva amb el Teorema de Bayes

Per decidir sobre la presència (E) o absència (A) d’una enfermetat, és usual realitzar proves que donin suport al diagnòstic. Considerant que una prova pot donar positiva (+) o negativa (-), analitzem les probabilitats associades. Definicions de Probabilitats

• \( P(+ / E) \): Probabilitat de test positiu en individus malalts (Sensibilitat del test).

• \( P(+ / A) \): Probabilitat de test positiu en individus sans (Probabilitat de fals-positiu).

• \( P(- / A) \): Probabilitat de test negatiu en individus sans (Especificitat del test).

• \( P(- / E) \): Probabilitat de test negatiu en individus malalts (Probabilitat de fals-negatiu).

• \( P(E) \): Probabilitat de presentar la malaltia (Prevalença de la malaltia).

El valor predictiu del test es calcula com \( P(E / +) \) i \( P(A / -) \), és a dir, la probabilitat de patir la malaltia si el test és positiu i de no patir-la si és negatiu.

Un investigador desenvolupa una prova per al càncer amb un $5\%$ de fals-positius i un $20\%$ de fals-negatius. S’aplica a una població on el $2\%$ té càncer no detectat. Dades:

• Prevalença \( P(E) = 0.02 \)

• Fals-positiu \( P(+ / A) = 0.05 \)

• Fals-negatiu \( P(- / E) = 0.2 \)

• Sensibilitat \( P(+ / E) = 0.8 \)

• Especificitat \( P(- / A) = 0.95 \)

Utilitzant el teorema de Bayes, calculem \( P(E / +) \):\[P(E / +) = \frac{P(+ / E) \cdot P(E)}{P(+ / E) \cdot P(E) + P(+ / A) \cdot P(A)} = \frac{0.8 \cdot 0.02}{0.8 \cdot 0.02 + 0.05 \cdot 0.98} = 0.246\]De manera semblant, \( P(E / -) = 0.00427 \), d’on:\[P(A / -) = 1 – 0.00427 = 0.99573\]

El $24.6\%$ dels individus amb test positiu patiran la malaltia, i el $99.573\%$ dels amb test negatiu no la patiran. Això indica que la prova és més útil per descartar la malaltia.