Probabilitat de Productes Defectuosos en un Procés de Producció

Un procés de producció retorna un producte defectuós amb una probabilitat del $2\%$. Calcula: a) La probabilitat que, en escollir $10$ productes, hi hagi $5$ defectuosos. b) La probabilitat que, en escollir 10 productes, hi hagi almenys un defectuós.

Donada la probabilitat de defecte $p = 0,02$ (2%) i la probabilitat de no defecte $1 – p = 0,98$, assumim que les triades són independents i utilitzem una distribució binomial, on $n = 10$ (nombre de productes escollits) i $k$ és el nombre de defectuosos.

La fórmula de la probabilitat binomial és:

$$P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 – p)^{n – k}$$

on $\binom{n}{k}$ és el coeficient binomial.

a) Probabilitat que hi hagi $5$ defectuosos

• $n = 10$, $k = 5$, ( p = 0,02$, $1 – p = 0,98$.
• $\binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252$.

Substituint:
$$P(5) = 252 \cdot (0,02)^5 \cdot (0,98)^5$$

Calculem pas a pas:

• $(0,02)^5 = 0,02 \cdot 0,02 \cdot 0,02 \cdot 0,02 \cdot 0,02 = 3,2 \cdot 10^{-8}$.
• $(0,98)^5 \approx 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \approx 0,9039$ (aproximat).
• $P(5) = 252 \cdot 3,2 \cdot 10^{-8} \cdot 0,9039 \approx 252 \cdot 2,8925 \cdot 10^{-8} \approx 7,29 \cdot 10^{-6}$.

Resposta a): La probabilitat que hi hagi $5$ defectuosos és aproximadament $7,29 \cdot 10^{-6}$.

b) Probabilitat que hi hagi almenys un defectuós

La probabilitat d’almenys un defectuós és el complement de la probabilitat que no hi hagi cap defectuós:

$$P(\text{almenys 1 defectuós}) = 1 – P(\text{0 defectuosos})$$

• $P(\text{0 defectuosos}) = \binom{10}{0} \cdot (0,02)^0 \cdot (0,98)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0,98)^{10}$.
• $(0,98)^{10} \approx 0,8171$ (aproximat).

Així:
$$P(\text{0 defectuosos}) \approx 0,8171$$
$$P(\text{almenys 1 defectuós}) = 1 – 0,8171 = 0,1829$$

Resposta b): La probabilitat que hi hagi almenys un defectuós és aproximadament $0,1829$ (o 18,29%).