Probabilitat de Botons Vermells en Caixes

Sobre una taula tinc tres caixes amb botons: la primera caixa té $3$ botons, la segona $5$ i la tercera $4$. Cada una de les caixes conté un sol botó vermell. Si trio a l’atzar una caixa i en trec un botó a l’atzar: a) Quina és la probabilitat que sigui un botó vermell? b) Si s’ha tret un botó vermell, quina és la probabilitat que pertanyi a la primera caixa?

a) Probabilitat que el botó sigui vermell

1. Total de caixes i probabilitat d’escollir cada caixa:

• Hi ha 3 caixes, per tant, la probabilitat d’escollir qualsevol caixa és $\frac{1}{3}$.

1. Probabilitat que el botó sigui vermell segons la caixa escollida:

• Caixa 1: 3 botons, 1 vermell → Probabilitat de treure un botó vermell = $\frac{1}{3}$.
• Caixa 2: 5 botons, 1 vermell → Probabilitat de treure un botó vermell = $\frac{1}{5}$.
• Caixa 3: 4 botons, 1 vermell → Probabilitat de treure un botó vermell = $\frac{1}{4}$.

1. Probabilitat total d’obtenir un botó vermell:
   Utilitzem la llei de probabilitat total:
   $$P(\text{vermell}) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \right)$$
   $$= \frac{1}{9} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$$
   Denominador comú (180):
   $$\frac{1}{9} = \frac{20}{180}, \quad \frac{1}{15} = \frac{12}{180}, \quad \frac{1}{12} = \frac{15}{180}$$
   $$\frac{20 + 12 + 15}{180} = \frac{47}{180}$$

Resposta a): La probabilitat que el botó sigui vermell és $\frac{47}{180}$.

b) Probabilitat que el botó vermell provingui de la primera caixa

Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(\text{caixa 1} \mid \text{vermell}) = \frac{P(\text{vermell} \mid \text{caixa 1}) \cdot P(\text{caixa 1})}{P(\text{vermell})}$$

• $P(\text{vermell} \mid \text{caixa 1}) = \frac{1}{3}$.
• $P(\text{caixa 1}) = \frac{1}{3}$.
• $P(\text{vermell}) = \frac{47}{180}$.

Substituint:
$$P(\text{caixa 1} \mid \text{vermell}) = \frac{\left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \right)}{\frac{47}{180}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{47}{180}} = \frac{180}{9 \cdot 47} = \frac{20}{47}$$

Resposta b): La probabilitat que el botó vermell provingui de la primera caixa és $\frac{20}{47}$.