Càlcul del Camp Gravitatori i Òrbites Circulars a 630 km d’Alçada

S’eleva un cos, mitjançant un coet, fins a una alçada de 630 km sobre el nivell del mar: a) Quin és el mòdul del camp gravitatori terrestre a aquesta alçada? b) Amb quina velocitat hauria de llançar-se aquest cos (col·locat a aquesta alçada) en una direcció perpendicular al radi de la Terra de manera que descrigui una òrbita circular? c) Quin seria el període de revolució del cos al voltant de la Terra?

Dades:
$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$;
$M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg}$;
$R_T = 6,37 \cdot 10^6 \, \text{m}$.

a) El mòdul de la intensitat del camp gravitatori es calcula mitjançant l’expressió:

$$g = G \cdot \frac{M_T}{r^2}$$

Per tant, en substituir les dades, ens queda:

$$g = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot \frac{5,98 \cdot 10^{24} \, \text{kg}}{(7000 \cdot 10^3 \, \text{m})^2} = 8,14 \, \text{N} \cdot \text{kg}^{-1}$$

L’expressió del vector camp gravitatori serà:

$$\vec{g} = -8,14 \cdot \hat{u}_r \, \text{N/kg}$$

b) Perquè descrigui una òrbita circular en aquest punt, cal igualar la força centrípeta amb la força d’atracció gravitatoria (o el pes). Es deriva:

$$m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot g \rightarrow v^2 = g \cdot r \rightarrow v = \sqrt{g \cdot r}$$

Sustituint dades numèriques (tenint en compte que $r = 6,37 \cdot 10^6 + 630 \cdot 10^3 = 7000 \cdot 10^3 \, \text{m}$), tenim:

$$v = \sqrt{8,14 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 7000 \cdot 10^3 \, \text{m}} = 7548,5 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$$

c) Com que el cos es mou en l’òrbita amb velocitat constant (en mòdul), tenim que:

$$v = \frac{s}{t} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T} \rightarrow T = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{v}$$

Sustituint dades numèriques, ens queda:

$$T = \frac{2 \cdot \pi \cdot 7000 \cdot 10^3 \, \text{m}}{7548,5 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}} = 5827 \, \text{s} = 1 \, \text{h} 37 \, \text{min} 7 \, \text{s}$$