Càlcul de la Distància entre Dues Rectes i la seva Posició Relativa

Troba la distància entre les rectes \( r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{0} \) i \( s: \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1} \).

Posició relativa de les dues rectes. Agafem els dos vectors directors de \( r \) i \( s \), \( \overrightarrow{u} = (2, 1, 0) \) i \( \overrightarrow{v} = (1, 1, 1) \). Juntament amb un punt de \( r \), \( P = (1, 0, 2) \), i un punt de \( s \), \( Q = (0, 0, 1) \), creem el vector \( \overrightarrow{PQ} = (-1, 0, -1) \). Amb aquests tres vectors, mirem quin és el determinant de la matriu \( 3 \times 3 \). Si aquest determinant és diferent de zero, voldrà dir que el rang és 3 i les rectes es creuen:\[\begin{vmatrix}-1 & 2 & 1 \\0 & 1 & 1 \\-1 & 0 & 1\end{vmatrix} = -2\]Per tant, les rectes es creuen.Considerem la recta \( t \) perpendicular a \( r \) i a \( s \). Aquesta recta tindrà de vector director \( \overrightarrow{w} \) que serà perpendicular alhora a \( \overrightarrow{u} \) i a \( \overrightarrow{v} \):\[\overrightarrow{w} = \begin{vmatrix}i & j & k \\2 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1\end{vmatrix} = (1, -2, 1)\]Trobem l’equació del pla \( \pi \) que conté la recta \( t \) i la recta \( s \). Tenim dos vectors que pertanyen a aquest pla, el vector \( \overrightarrow{w} \) de \( t \) i el vector \( \overrightarrow{v} \) de \( s \). Només ens falta agafar un punt del pla per trobar-ne l’equació. Com a punt del pla podem agafar el punt \( Q = (0, 0, 1) \) de \( s \). Per tant, el pla tindrà com a equació:\[\begin{vmatrix}x – 0 & 1 & 1 \\y – 0 & -2 & 1 \\z – 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \rightarrow -3x + 3z – 3 = 0 \rightarrow x – z + 1 = 0\]Busquem la intersecció del pla \( \pi \) amb la primera recta, \( r \). Això ens donarà un punt, diguem-li \( A \). Expressem l’equació de \( r \) de forma paramètrica i substituïm els valors de \( x \), \( y \) i \( z \) en l’equació del pla:\[r: \begin{cases}x = 1 + 2\lambda \\y = \lambda \\z = 2\end{cases} \rightarrow (1 + 2\lambda) – 2 + 1 = 0 \rightarrow \lambda = 0\]Per tant, substituïnt el valor de \( \lambda \) a l’equació paramètrica de \( r \), trobem que el punt \( A \) té coordenades:\[A = (1, 0, 2)\]Que casualment coincideix amb \( P \). Trobem l’equació de la recta \( t \):\[\frac{x – 1}{1} = \frac{y – 0}{-2} = \frac{z – 2}{1}\]La distància entre les rectes \( r \) i \( s \) és la distància de \( A \) a la recta \( s \):\[d(r, s) = d(P, s) = \frac{|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|} = \frac{|(-1, 0, -1) \times (1, 1, 1)|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \, \text{u} \approx 0.82\]