Aplicació del teorema de Bolzano

Demostreu que hi ha un número real \( x \) tal que el seu cosinus és igual a la mateixa \( x \). Doneu una aproximació d’aquest valor.

D’entrada l’enunciat d’aquest problema ens sembla molt extrany. Anem a interpretar-lo. Hem de resoldre:\[ \cos(x) = x \] Considerem ara la funció \( f(x) = \cos(x) – x \). Si trobem dos punts d’aquesta funció que tinguin signes oposats, com que \( f(x) \) és contínua, podem garantir, pel teorema de Bolzano que la funció tindrà un arrel (zero) dins d’aquest interval, i per tant es complirà:\[ f(x) = \cos(x) – x = 0. \]Veiem que:\begin{align}f(0) &= \cos(0) – 0 = 1 > 0 \\f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) – \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} < 0\end{align} Per tant, podem afirmar que existeix un punt a dins l’interval \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) tal que \( f(a) = 0 \), o sigui que el seu cosinus és igual a ell mateix:\[ \cos(a) – a = 0 \rightarrow \cos(a) = a \] Per trobar aquest valor, haurem d’aplicar el mètode de tempteig:\begin{align}f\left(\frac{\pi}{4}\right) &< 0 \rightarrow a \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \\f\left(\frac{\pi}{8}\right) &> 0 \rightarrow a \in \left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right] \\f\left(\frac{\pi}{5}\right) &> 0 \rightarrow a \in \left[\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{4}\right] \\&. \\&. \\&. \\&.\end{align} El valor que estem buscant està entre \( \left[\frac{\pi}{5}, \frac{\pi}{4}\right] \)