Probabilitat de mantenir el nombre de passatgers en un autobús

Cada un dels 3 passatgers que viatgen en un autobús baixa a la parada següent amb una probabilitat de 0,1 independentment dels altres passatgers. En aquesta mateixa parada esperen l’autobús tres passatgers, cadascun dels quals pot pujar a l’autobús independentment dels altres amb una probabilitat de 0,3. Quin és la probabilitat que quan l’autobús marxi de la parada següent el nombre de passatgers sigui igual al nombre inicial?

El nombre de passatgers a l’autobús es manté constant si el nombre de passatgers que baixen és igual al nombre de passatgers que pugen. Sigui \( H_0, H_1, H_2 \) i \( H_3 \) els successos consistents en que a l’autobús no pugen passatgers, puja un passatger, pugen dos passatgers i pugen tres passatgers, respectivament.

Tres passatgers, respectivament. Per la fórmula de probabilitat total obtenim\[P(A) = P(A|H_0)P(H_0) + P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2) + P(A|H_3)P(H_3).\]Tenint en compte que els passatgers pugen a l’autobús independentment, calculem\[P(H_0) = (1 – 0,3)^3 = (0,7)^3 = 0,343,\]\[P(H_1) = 3(1 – 0,3)^2 0,3 = 0,441,\]\[P(H_2) = 3(1 – 0,3) 0,3^2 = 0,189,\]\[P(H_3) = 0,3^3 = 0,027.\]Les probabilitats condicionades \( P(A|H_i) \) són les probabilitats que a la parada següent baixin exactament \( i \) passatgers:\[P(A|H_0) = (1 – 0,1)^3 = 0,9^3 = 0,729,\]\[P(A|H_1) = 3(1 – 0,1)^2 0,1 = 0,243,\]\[P(A|H_2) = 3(1 – 0,1) 0,1^2 = 0,027,\]\[P(A|H_3) = 0,1^3 = 0,001.\]Finalment,\[P(A) = 0,729 \cdot 0,343 + 0,243 \cdot 0,441 + 0,027 \cdot 0,189 + 0,001 \cdot 0,027 \approx 0,36.\]