Probabilitat de guanyar més de la meitat dels partits en un torneig de tennis

Un jugador de tenis té una probabilitat de guanyar un partit de $0,25$. Si juga quatre partits, calcula la probabilitat que en guanyi més de la meitat.

Per calcular la probabilitat que el jugador de tenis guanyi més de la meitat dels quatre partits, hem de considerar que “més de la meitat” significa guanyar $3$ o $4$ partits (ja que la meitat de $4$ és $2$). Aquest és un problema de distribució binomial, on:

• $n = 4$ (nombre de partits),
• $p = 0,25$ (probabilitat de guanyar un partit),
• $q = 1 – p = 0,75$ (probabilitat de perdre un partit).

Volem calcular $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$, on $X$ és el nombre de partits guanyats.

La fórmula de la probabilitat binomial és:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
on $\binom{n}{k}$ és el coeficient binomial.

Pas 1: Calcular $P(X = 3)$

• $k = 3$, $n = 4$, $p = 0,25$, $q = 0,75$.
• Coeficient binomial: $\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
• Probabilitat:
  $$P(X = 3) = \binom{4}{3} (0,25)^3 (0,75)^{4-3} = 4 \cdot (0,015625) \cdot (0,75) = 4 \cdot 0,01171875 = 0,046875$$

Pas 2: Calcular $P(X = 4)$

• $k = 4$, $n = 4$, $p = 0,25$, $q = 0,75$.
• Coeficient binomial: $\binom{4}{4} = 1$.
• Probabilitat:
  $$P(X = 4) = \binom{4}{4} (0,25)^4 (0,75)^{4-4} = 1 \cdot (0,00390625) \cdot 1 = 0,00390625$$

Pas 3: Sumar les probabilitats

$$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,046875 + 0,00390625 = 0,05078125$$

Resposta final

La probabilitat que el jugador guanyi més de la meitat dels quatre partits és $0,0508$ (arrodonit a quatre decimals).