Probabilitat de defectes en panys produïts per una màquina

Si el $20\%$ dels panys produïts per una màquina són defectuosos, determina la probabilitat que de quatre panys agafats a l’atzar: a) Un sigui defectuós. b) Com a màxim dos siguin defectuosos.

Aquest és un altre problema de distribució binomial, on:

• $n = 4$ (nombre de panys),
• $p = 0,20$ (probabilitat que un pany sigui defectuós),
• $q = 1 – p = 0,80$ (probabilitat que un pany no sigui defectuós).

La fórmula de la probabilitat binomial és:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
on $X$ és el nombre de panys defectuosos i $\binom{n}{k}$ és el coeficient binomial.

a) Probabilitat que exactament un pany sigui defectuós ($P(X = 1)$)

• $k = 1$, $n = 4$, $p = 0,20$, $q = 0,80$.
• Coeficient binomial: $\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
• Probabilitat:
  $$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0,20)^1 (0,80)^{4-1} = 4 \cdot 0,20 \cdot (0,80)^3$$
• Calculem $(0,80)^3 = 0,512$.
• Llavors:
  $$P(X = 1) = 4 \cdot 0,20 \cdot 0,512 = 4 \cdot 0,1024 = 0,4096$$

Resposta a): La probabilitat que exactament un pany sigui defectuós és $0,4096$.

b) Probabilitat que com a màxim dos panys siguin defectuosos ($P(X \leq 2)$)

Com a màxim dos panys defectuosos significa $X = 0$, $X = 1$, o $X = 2$. Per tant:
$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

• Calculem $P(X = 0)$:
• $k = 0$, $n = 4$, $p = 0,20$, $q = 0,80$.
• Coeficient binomial: $\binom{4}{0} = 1$.
• Probabilitat:
  $$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0,20)^0 (0,80)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (0,80)^4$$
• Calculem $(0,80)^4 = 0,4096$.
• Llavors:
  $$P(X = 0) = 0,4096$$
• $P(X = 1)$ ja l’hem calculat: $0,4096$.
• Calculem $P(X = 2)$:
• $k = 2$, $n = 4$, $p = 0,20$, $q = 0,80$.
• Coeficient binomial: $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$.
• Probabilitat:
  $$P(X = 2) = \binom{4}{2} (0,20)^2 (0,80)^{4-2} = 6 \cdot (0,20)^2 \cdot (0,80)^2$$
• Calculem $(0,20)^2 = 0,04$ i $(0,80)^2 = 0,64$.
• Llavors:
  $$P(X = 2) = 6 \cdot 0,04 \cdot 0,64 = 6 \cdot 0,0256 = 0,1536$$
• Suma de les probabilitats:
  $$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728$$

Resposta b): La probabilitat que com a màxim dos panys siguin defectuosos és 0,9728.

Resposta final

a) 0,4096
b) 0,9728